Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

Подмеченные в задаче 622 свойства средней линии треугольника опи­сывает теорема.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Условие. DE – средняя линия треугольника ABC, AD = DC и BE = CE.

Заключение. 1) DE || AB; 2) DE = 0,5AB.

Доказательство. Продолжим среднюю линию DE за точку E так, что DF = 2DE (см. нижний рисунок). Соединим отрезком точки F и B. Теперь проследи внимательно ход рассуждений.

  1. BE = CE, DE = EF и DEC = ∠BEF (как вертикальные углы).
  2. ΔDEC = ΔFEB (признак равенства треугольников СУС).
  3. BF = DC и DCE = ∠EBF (как соответственные стороны и соответственные углы равных треугольников).
  4. BF = AD – следует из пункта 3, так как по условию DC = AD.
  5. BF || AD – следует из пункта 1, так как углы DCE и EBF – это равные внутренние накрест лежащие углы (признак параллельности прямых, § 4.2).
  6. Четырехугольник ABFD является параллелограммом – следует из пунктов 4 и 5, так как две противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны (теорема 4, § 4.2).
  7. DF || AB (почему?) и, следовательно, DE || AB. Первое утверждение теоремы доказано.
  8. DF = AB (как противоположные стороны параллелограмма) и, следовательно, DE = 0,5AB, так как DE = 0,5DF.

Второе утверждение теоремы, а, значит, и вся теорема, доказаны.

Упражнения A

Постарайся самостоятельно построить нужный чертеж и доказать теорему.

625.3 Сгибание бумаги

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна половине этой стороны.

Попробуй убедиться в справедливости теоремы о средней линии треугольника путем сгибания бумаги.

Для этого перегни треугольник вдоль его высоты, а затем таким же способом найди среднюю линию треугольника. Сложив треугольник вдоль его средней линии, ты увидишь, что средняя линия делит пополам высоту и перпендикулярна ей. Поэтому средняя линия параллельна основанию треугольника.

Теперь путем сгибания совмести остальные вершины треугольника с основанием его высоты.

Убедись, что получится прямоугольник со сторонами a2 и h2. Но одна из сторон прямоугольника является и средней линией исходного треугольника, следовательно, длина средней линии треугольника равна половине его основания.

625.4 Программа GeoGebra

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна половине этой стороны.

С помощью программы GeoGebra можно проверить справедливость этой теоремы следующим образом.

«Многоугольник»

Начерти произвольный треугольник. Для этого выбери инструмент «Многоугольник». Щелкни на полотне в три точки и затем снова в первую точку. Получишь треугольник АВС.

«Точка»
«Середина или центр»

Начерти одну из средних линий треугольника. Для этого выбери в подменю кнопки «Точка» инструмент «Середина или центр». Щелкни мышью в точки А и В, получишь середину D отрезка АВ. Таким же образом найди середину Е отрезка АС.

«Прямая»
«Отрезок»

Начерти среднюю линию DE, выбрав в подменю кнопки «Прямая» инструмент «Отрезок» и щелкнув мышью в точки D и E.

«Параллельная прямая»

Теперь покажи, что средняя линия параллельна стороне треугольника, которую она не пересекает. Для этого выбери инструмент «Параллельная прямая». Щелкни мышью в один из концов отрезка DE и в произвольную точку стороны ВС. Теперь видно, что средняя линия DE расположена на прямой, параллельной стороне ВС. Это значит, что средняя линия DE параллельна стороне ВС.

«Расстояние или длина»

Далее найди длины средней линии и соответствующей стороны треугольника. Для этого выбери инструмент «Расстояние или длина» и щелкни мышью в концы соответствующих отрезков. Убедись в том, что длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны.

Программа GeoGebra обозначает расстояние между двумя точками, например, В и С, символом . На основании рисунка мы запишем, что BC = 6,08.

«Многоугольник»

Повтори то же самое и для двух других средних линий. 
​Наконец, выбери инструмент «Перемещать» и измени форму и размеры треугольника, перемещая его вершины. Ты увидишь, что параллельность и отношение длин остаются прежними.

  1. Сравни каждую из средних линий с соответствующей стороной, опираясь на изученную теорему.
  2. Сравни между собой длины средних линий в каждом из треугольников.

Ответ: соответствующие средние линии равны  см,  см и  см.

Ответ: соответствующие средние линии равны  дм,  дм и  дм.

Ответ: соответствующие средние линии равны  см,  см и  см.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен  дм.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен  м.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен  см.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен  дм.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен  м.

Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен см.

Ответ: средняя линия треугольника равна  дм.

Ответ: основание треугольника равно  см, а боковая сторона –  см.

Ответ: периметр треугольника равен  см.

Ответ: средние линии треугольника (в порядке возрастания длины) равны  см,  см и  см.

Ответ: стороны треугольника равны соответственно  см,  см,  см.

Ответ:  ∠R°, ∠S°, ∠T°.

Ответ:  ∠R°, ∠S°, ∠T°.

Ответ:  ∠R°, ∠S°, ∠T°.

Ответ: P см, S см2.

Ответ: средняя линия треугольника KLM равна .

Ответ: средняя линия треугольника KLM равна.

Ответ: средняя линия треугольника KLM равна.

Ответ: средняя линия треугольника KLM равна .

Упражнения Б

Рассмотри рисунок слева и найди, на какие части средняя линия разбивает треугольник.

Рассмотри рисунок справа и найди, какая часть площади треугольника FGH закрашена, если точки I, J и K есть середины соответствующих сторон.

Ответ: стороны треугольника равны соответственно  см,  см и  см.

Ответ: расстояние от вершины треугольника до его основания равно  см.