![]() |

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Подмеченные в задаче 622 свойства средней линии треугольника описывает теорема.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
![]() |
Условие. DE – средняя линия треугольника ABC, AD = DC и BE = CE.
Заключение. 1) DE || AB; 2) DE = 0,5AB.
Доказательство. Продолжим среднюю линию DE за точку E так, что DF = 2DE (см. нижний рисунок). Соединим отрезком точки F и B. Теперь проследи внимательно ход рассуждений.
![]() |
- BE = CE, DE = EF и ∠DEC = ∠BEF (как вертикальные углы).
- ΔDEC = ΔFEB (признак равенства треугольников СУС).
- BF = DC и ∠DCE = ∠EBF (как соответственные стороны и соответственные углы равных треугольников).
- BF = AD – следует из пункта 3, так как по условию DC = AD.
- BF || AD – следует из пункта 1, так как углы DCE и EBF – это равные внутренние накрест лежащие углы (признак параллельности прямых, § 4.2).
- Четырехугольник ABFD является параллелограммом – следует из пунктов 4 и 5, так как две противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны (теорема 4, § 4.2).
- DF || AB (почему?) и, следовательно, DE || AB. Первое утверждение теоремы доказано.
- DF = AB (как противоположные стороны параллелограмма) и, следовательно, DE = 0,5AB, так как DE = 0,5DF. ■
Второе утверждение теоремы, а, значит, и вся теорема, доказаны.
Упражнения A
![]() |

- Сравни каждую из средних линий с соответствующей стороной, опираясь на изученную теорему.
- Сравни между собой длины средних линий в каждом из треугольников.
Ответ: периметр треугольника, образованного средними линиями, равен см.
Ответ: средняя линия треугольника равна дм.
Ответ: основание треугольника равно см, а боковая сторона – см.
Ответ: периметр треугольника равен см.
Ответ: средние линии треугольника (в порядке возрастания длины) равны см, см и см.
Ответ: стороны треугольника равны соответственно см, см, см.

Ответ: P = см, S = см2.
Упражнения Б
![]() |
![]() |
Рассмотри рисунок слева и найди, на какие части средняя линия разбивает треугольник.
Рассмотри рисунок справа и найди, какая часть площади треугольника FGH закрашена, если точки I, J и K есть середины соответствующих сторон.
Ответ: стороны треугольника равны соответственно см, см и см.
Ответ: расстояние от вершины треугольника до его основания равно см.