Что нового мы изучим? Многочлены

Изучив материал этой главы, ты будешь знать, что означают следующие термины и выражения:

многочлен, многочлен cтандартного вида, коэффициент многочлена, раскрытие скобок, разложение многочлена на множители, разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, квадрат двучлена;

а также научишься:

складывать и вычитать многочлены;
умножать многочлен на одночлен;
делить многочлен на одночлен;
умножать многочлен на другой многочлен;
раскладывать многочлены на множители путем вынесения общего множителя за скобки;
пользоваться при раскрытии скобок и разложении многочленов на множители формулами разности квадратов, квадрата разности и квадрата суммы.

More like this

Что такое многочлен?

Подобные одночлены отличаются только числовым коэффициентом или же одинаковы, например,
3x²y и 4x²y; 2a и 2a; 5 и 12.

4a – 7a + 5a =

3a² – 4a² + 3a² – 2 =

2x – 3y + 4x + 5y + 10 =

2ab² – 7a²b + 5a²b – 2ab² + 5 =

Приведенные выше выражения являются суммами одночленов. Сумму одночленов называют многочленом. Одночлены, при сложении которых получается многочлен, называются членами многочлена, а их коэффициенты – коэффициентами многочлена. Например, членами многочлена

$3 x^{2} - \frac{2}{3} x y + y^{5} - 7$

являются 3x², $- \frac{2}{3} x y$ , y⁵ и –7, а коэффициентами 3, $- \frac{2}{3}$ , 1 и –7.

Если среди членов многочлена есть подобные (то есть одночлены, отличающиеся только коэффициентами, или одинаковые одночлены), то их следует привести, как подобные слагаемые. Это ты и сделал в задаче 35. Чтобы избежать ошибок, подобные слагаемые следует подчеркнуть одинаковым способом. Например, многочлен

3ab² – 7a²b + 5ab² – a + 2a²b + 2

содержит две группы подобных. К одной группе принадлежат 3ab² и 5ab², к другой –7a²b и 2a²b. Приведя подобные слагаемые, получим:

После приведения подобных члены многочлена обычно располагают так , чтобы на первом месте стоял тот из них, в котором сумма показателей степеней переменных является наибольшей. Если несколько членов имеют одинаковую наибольшую сумму показателей степеней, то их располагают произвольно. Остальные члены записывают в порядке убывания суммы показателей степеней переменных.

Одночлен записан в стандартном виде, если на первом месте стоит коэффициент, а произведения одинаковых переменных записаны в виде их степени (в алфавитном порядке оснований).

Если все члены многочлена записаны в стандартном виде и упорядочены описанным выше способом, то многочлен принимает стандартный вид. Полученный в последнем примере многочлен

8ab² – 5a²b – a + 2

записан в стандартном виде. Наибольшая сумма показателей степеней его переменных a и b равна 3. В то же время многочлен

5x – 3x³ + 7x² – 10x⁵ + 7

не записан в стандартном виде. Изменив порядок членов этого многочлена, мы можем записать его в стандартном виде. Получим:

5x – 3x³ + 7x² – 10x⁵ + 7 = –10x⁵ – 3x³ + 7x² + 5x + 7.

Многочлен, состоящий из двух неподобных членов, называется двучленом. Двучленами будут, например,

2x – 5, 3x²y + 7x, ax + b.

Многочлен, имеющий три неподобных друг другу члена, называется трехчленом. Таковы, к примеру,

2x³ – 3x + 5, a³ – ab + b², x² – 2y² + z.

More like this

Упражнения A

что такое многочлен, двучлен, трехчлен;
что такое члены многочлена и коэффициенты многочлена;
какой многочлен является записанным в стандартном виде.

4c² – 3c + 8c – c² =

–5xy + 4x + 7xy – 3x =

9a² – 4a³ – 8a² + 4a³ =

3x²y – 8xy² + 5x²y – x² =

2a – 3a² + a³ – 8a + 3a² =

8 – 3y² + 7y + 4y² – 4y – 3 =

ab – 6a + 7b – 5ba + 6a =

–4mn² + 6m²n + 5n²m – 8mn =

1,3x⁴ – 2,5x⁴ + 0,7x⁴ =

8,2a – 3a² – 4,4a =

0,5 + 0,9y – 0,4y =

2,7ax – 3,6ax² – 5xa =

1,6a² + 3,8b² – 0,9a² – b² =

0,4u – 0,7v – u² + v – u =

–2,3x² – 1,4x + 0,8x² + x =

6,5y²z + yz² – 7,5y²z + zy² =

5a – (–3a) + (–4a) – 8a =

–(–7x²) – 3x² + (–x²) – (–5x²) =

6a – (–9) + 8a + (–9) – 7a =

–(–2y²) + 2 + (–y) – (–5) =

–6xy + (–5yx) + 8xy – (–2yx) =

3x – 7x + x =

Если x = –3, то значение выражения есть

=

–2a² + 6a² – a² =

Если a = 5, то значение выражения есть

=

4mn + mn – 3mn =

Если m = –2 и n = 4, то значение выражения есть

=

x²y – 7x²y + 6x²y =

Если x = –1 и y = 10, то значение выражения есть

=

6y – 5y + 4y = 40
y =

–3z + z – 8z = –6
z =

7t – 5t – t = 1,8
t =

4x – 8 + 3x = 5x – 12
x =

15 – u = 18 + 2u – 12
u =

9 = 4y – 6 + 2y – 10 – y
y =

Ответ: на эту поездку было израсходовано литров бензина.

Ответ: на полках магазина осталось кг муки.

S =

Затем вычисли эту площадь, если a = 2,3 см и b = 3,9 см.

S = = (cм²).

S =

Вычисли эту площадь, если r = 4,3 дм.

S = = (дм²).

More like this

Упражнения Б

$\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{2}$ =

$\frac{a}{8} - \frac{a}{4} - \frac{a}{2} + \frac{a}{16}$ =

2aⁿ – 3bⁿ – aⁿ + 3bⁿ =

$\frac{3}{4} a b + \frac{1}{8} a^{2} b - a b + \frac{1}{2} b a^{2}$ =

$\frac{1}{7} + \frac{5}{14} y - \frac{5}{14} - \frac{4 y}{7} + \frac{y^{2}}{7}$ =

–y^m + 4y^2m – 7y^2m + 3y^m =

5x² – 2xy – 7x² + 4xy + 6 =

Если x = –2 и y = 2, то значение выражения равно

=

–4a² + 7 – 6a + 2a² + 4a =

Если a = –3, то значение выражения равно

=

Вычисли значение выражения $9 y^{3} + 4 y^{2} - 6 y - y^{3} + 2 y^{2} + \frac{1}{2}$ , если $y = \frac{1}{2}$ .

$9 y^{3} + 4 y^{2} - 6 y - y^{3} + 2 y^{2} + \frac{1}{2}$ =

Если $y = \frac{1}{2}$ , то значение выражения равно

=

Ответ: сумма этих одночленов есть и если x = –2, то ее значение равно .

–7a⁴ + (–5a²b) – (–6a⁴) + 3ba² – 6ab – (–4ab²) =

5abc – (–7ab) + (–6) – 9ba + (–ac) + (–5acb) =

4(a + b) – 9(a – b) + 3(a + b) + 4(a – b) + 7(a + b) =

aⁿ + (–7a^m) – (–3aⁿ) – a^2m + (–4aⁿ) – a^2m =

сколько проволоки пошло на изготовление каркасов;

Ответ: на изготовление каркасов пошло см проволоки.
какова общая площадь бумаги, израсходованной на изготовление кубов;

Ответ: на изготовление кубов было израсходовано cм² бумаги.
каков суммарный объем этих кубов.

Ответ: сумма объемов кубов равна cм³.