Графическое решение системы уравнений, несмотря на наглядность, является трудоемким (требует построения точных чертежей) и, что самое главное, обычно не позволяет найти точное решение. Поэтому чаще используют способы решения, опирающиеся на вычисления и преобразования системы. Эти способы позволяют свести решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными к решению одного уравнения с одним неизвестным.
![]() |
Решим систему уравнений
Коэффициенты при у в обоих уравнениях являются противоположными числами: 3 и –3. Поэтому, если сложить соответствующие части данных уравнений, то в полученном уравнении не будет членов, содержащих неизвестное у. Выполним сложение:
Получим уравнение 3x = 9 с одним неизвестным, из которого находим: x = 3. Подставив найденное значение x в одно из уравнений данной системы, мы снова получим уравнение с одним неизвестным. Подставим, например, число 3 вместо неизвестного x во второе уравнение. Получим:
Решением системы уравнений будет пара чисел (3; 2). Проверим, действительно ли эта пара чисел является решением системы. Для этого подставим найденные значения неизвестных в оба уравнения системы. При этом обозначим левую часть первого уравнения через Л1, а правую часть – через П1, левую часть второго уравнения через Л2, а правую часть – через П2. Тогда получим:
Siis saame, et
Л1 = 2 · 3 + 3 · 2 = 6 + 6 = 12; Л1 = П1.
Л2 = 3 – 3 · 2 = 3 – 6 = –3; Л2 = П2.
Значит, решением системы является пара чисел (3; 2).
Ответ:
В примере 1 мы исключили неизвестное y путем сложения соответствующих частей обоих уравнений системы. Поэтому такой способ решения системы называется способом сложения.
![]() |
Решим систему уравнений
При решении системы уравнений неважно, какое из неизвестных мы будем исключать в первую очередь. Если обе части первого из уравнений данной системы умножить на –2, а обе части второго уравнения умножить на 3 (или умножить уравнения соответственно на 2 и – 3), то коэффициенты при неизвестном x в этих уравнениях станут противоположными друг другу числами. Если же мы хотим сначала исключить неизвестное y, то умножим обе части обоих уравнений на такие множители, что коэффициенты при y станут противоположными числами (в нашем случае такими множителями являются соответственно 3 и –5 или же –3 и 5). Рассмотрим первую возможность, т. е. сначала исключим неизвестное x:
Подставив найденное значение y, например, во второе из уравнений системы, получим:
Проверка показывает, что пара чисел (–2; 3) удовлетворяет обоим уравнениям системы.
Ответ: решением системы является пара чисел (–2; 3).
Упражнения A
![]() |
.
С помощью текста параграфа объясни, на какие множители нужно соответственно умножить обе части этих уравнений, чтобы сначала исключить:
- неизвестное x;
- неизвестное y.
Сколько возможностей имеется?