Aja dilatatsioon

Olgu meil varras pikkusega l. Varda ühes otsas (A) on valgus­allikas, mis saadab valgussähvatuse varda teise otsa (B) suunas. Süsteemis K, kus varras seisab, jõuab valgus pärale aja

$t=\frac{l}{c}$

möödudes.

Nüüd vaatame seda protsessi süsteemis K′, kus varras liigub rist­sihis kiirusega v ja püüame leida, kui palju aega t' kulub valgusel siin varda pikkusele vastava tee läbimiseks. Kui aeg sõltub taust­süsteemi valikust, siis t ≠ t'. Asetsegu varras ise y-koordinaadi suunas ja liikumine toimugu x-telje suunas. Aja t' jooksul jõuavad varda ots­punktid liikuda x-telje suunas punktidest A ja B teepikkuse vt', s.o vastavalt punktidesse A' ja B'. Valgus aga liikus süsteemis K' pikema tee – punktist A punkti B', s.t teepikkuse

$d=\sqrt{l^2+{(vt\prime )}^2}\text{.}$

Nagu teame, pidi valgus sellegi tee läbima kiirusega c:

$\frac{d}{t\prime }=c$ ehk $\frac{\sqrt{l^2+{(vt\prime )}^2}}{t\prime }=c\text{.}$

Asendame l = ct, korrutame mõlemad pooled t′-ga ja tõstame ruutu:

${\displaystyle {\left(ct\right)}^2+{\left(v{t}^{\prime }\right)}^2=c^2{t}^{\prime 2}}$ ehk ${\displaystyle {\left(ct\right)}^2=(c^2-<!--\; -\; -->v^2)t^{\prime 2}}$.

Jagame mõlemad pooled c²-ga:

$$ t^2=\frac{c^2-v^2}{c^2}{t^{\prime }}^2=\left[1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2\right]\cdot {t^{\prime }}^2,$$

millest saame

$$$$ t^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}t.$$

Kirjutame selle kujul

${\displaystyle t^{\prime }=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}t}$,

kus kiirusest sõltuv kordaja

$$ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$$

on nn kinemaatiline tegur, mis näitab, mitu korda kulgevad protsessid aeglasemalt juhul kui vaadelda neid liikuvas süsteemis ehk mitu korda käib liikuv kell paigal­seisvast aeglasemalt. Kui kiirus v on väike, siis, nagu graafikult näha, erineb γ ühest väga vähe. Siis on ots­tarbekas kasutada ligi­kaudseid valemeid

$$ \gamma \approx 1+\frac{v^2}{2c^2},\frac{1}{\gamma }\approx 1-\frac{v^2}{2c^2}.$$

See relatiivsusteooria järeldus on tuntud ka kui nn kella­paradoks ehk kaksikute paradoks. Kui näiteks üks kaksik­vendadest läheb kosmose­reisile ja naaseb hiljem Maale, siis pole vennad enam ühevanused. Kosmose­rändur on jäänud vennast nooremaks. Teoreetiliselt võib vanuse­vahe suureneda piiramatult, kuid praktiliselt ei näe me täna­päeval võimalust, et see suureks osutuks, sest raketi kütuse­varu ei saa palju­kordselt raketi kaalu ületada ja suured, nn relativistlikud raketi­kiirused pole see­pärast tehniliselt saavutatavad. Lennukitel on seda efekti väga täpselt kelladel siiski mõõdetud. Hästi on mõõdetav kiirendatud eba­stabiil­sete elementaar­osakeste (näiteks müüonite) eluigade pikenemine, mis võib olla palju­kordne võrreldes aeglaselt liikuvate osakestega.