Ruutjuur

Tunni ülesehitus

  1. Sissejuhatus, 7 min
  2. Töö õpiku tekstiga. Selgitused ja näited, 15 min
  3. Õpitu kinnistamine. ​Ülesannete lahendamine, 20 min
  4. Kokkuvõte, 3 min

Ettevalmistus

  • Valida sobiv sissejuhatav tegevus.
  • Valida näited.
  • Valida ülesanded iseseisva tegevuse jaoks.
  • Otsustada, kas mängida tunni lõpus või mitte.
  • Otsustada, kas anda kodune töö ja milline anda.

Eelteadmised

  • arvu ruutu võtmise põhimõtete tundmine

Eesmärgid

Õpilane

  • saab teada, mis on arvu ruutjuur;
  • saab tuttavaks irratsionaalarvudega;
  • oskab arvutada ruutjuuri sisaldava avaldise väärtust.

Seotud materjal

  • ​lk 11–15
  • ül 9–19
  • ptk 3.1
  • ülesanded Opiqu ptk 3.1 juurde: „Reaalarvud“, „Kolmnurkarvud“, „Arutle. Ringi ja ruudu pindala“, „Ringi pindala ja ringjoone pikkus“

Märksõnad ja meetodid

  • arvu ruut, arvu ruutjuur, juurimine, tehtemärgid, pöördtehted, irratsionaalsed arvud
  • demonstratsioon, näitlikustamine, suunatud diskussioon, rakendused, tagasiside andmine, probleemi analüüs, ​iseseisev töö

Lõiming

eesti keel, tehnoloogia

Läbivad teemad

Tehnoloogia ja innovatsioon

Lahendustega ülesanded e-tunni slaididel

ül

35.1,6

37.1

ül

18

Seotud sisu
Muud tegevused

1. Sissejuhatus

  • Sissejuhatava teema valimine
    • Tehted pöördtehete rakendamiseks
  • Tean mida tean

7

Sissejuhatava teema valimine

Sissejuhatuseks piisab ühest tegevusest.

  • Hea on veel kord läbi töötada tehted ja nende pöördtehted. Slaidil on mõned avaldised, kus arvutamise välistamiseks on valitud suured arvud. Õpilastelt tasub põhjendamiseks oodata väidet, kus on kasutatud mõistet „pöördtehe“.
  • Test „Tean mida tean“ keskendub ruudu külje täisarvuliste väärtuste äratundmisele. See on ettevalmistus arvu ruutudega tegelemiseks juurimistehte sooritamisel.

Sissejuhatavad ülesanded

Pöördtehted

Määra tehe aleidmiseks.

  • 38^5+a=41
  • a-17438=9^{11}
  • -15a=431
  • \frac{a}{29^3}=17^3

Tean mida tean

Tean mida tean Vastused
  1. Kui S = 4 ja S = 9
  2. Kui S = 26
  3. A ja D, saame ruudu küljega 9 pikkusühikut
  4. S1 = 22 = 4
    S2 =12 = 1
    S3 = 3, sest
    81 – 25  – 2·16 – 2·9 + 1 – 4 = 3​​​
Seotud sisu
Muud tegevused

2. Teema selgitamine

  • Soovitused tööks õpiku tekstiga
    • Tehtemärk ja mõisted
    • Näited ruutjuurte kohta
    • Dünaamiline graafik arvu x, 0 < x < 2, ruutude ja ruutjuurte demonstreerimiseks
    • Soovitus tegevuse diferentseerimiseks, sh ülesanne ja vastus tabelina
  • Distantsõppe juhised

8

Töö õpiku tekstiga

  • Enne ülesannete lahendamist on hea vaadata kõikvõimalikke ruutjuure võtmisel esile tulevaid vastusevariante:
    1. ruutjuur on täisarv,
    2. ruutjuur on lõplik kümnendmurd,
    3. ruutjuur on lõpmatu kümnendmurd,
    4. ruutjuur on harilik murd.
  • Dünaamilise joonise abil saab vaadelda arvu ruutu ja ruutjuurt, kui arv on valitud 0 ja 2 vahelt.

Neile, kellele matemaatika meeldib

[peidetud sisu]

Ruutjuure võtmisel on peamine see, et tuleb ära tunda arvu ruudud e ruutarvud? Korrutustabeli piires peaks see õpilastel selge olema. Mõtlemise paindlikkuse huvides võiks töötada arvu ruutudega kuni 30-ni.

Õpilastelt tasub oodata tähelepanekut, et ruudu viimased numbrid võivad olla ainult 0, 1, 4, 5, 6 või 9​.

Ühegi arvu ruut ei saa kunagi lõppeda 2, 3, 7 ega 8-ga.

Arvu ruudud

Koosta tabel arvude 0 kuni 30 ruutudest arvu ruudu viimaste numbrite kasvavas järjekorras.

Näiteks
212 ​arvu ruudu viimane number 1,​ arvu ruut 441
82​ arvu ruudu viimane number 4,​ arvu ruut 464
172 arvu ruudu viimane number 9,​ arvu ruut 289
jne​

Reeglid ja näited

Mõisted

Ruutjuurt saab leida vaid
​ mittenegatiivsest arvust,
​sest ei leidu sellist arvu, mille ruut oleks negatiivne.

\sqrt{9}=3, sest 3^2=9

\sqrt{-9} puudub, sest ühegi arvu ruut pole -9

Ruutjuur on täisarv.

\sqrt{25}=5, sest 5^2=25

\sqrt{289}=17, sest 17^2=289

\sqrt{63\ 001}=251, sest 251^2=63\ 001

\sqrt{34\ 492\ 129}=5873, sest 
​5873^2=34\ 492\ 129

Ruutjuur on lõplik kümnendmurd või harilik murd.

\sqrt{0,01}=0,1, sest 0,1^2=0,01

\sqrt{2,56}=1,6, sest 1,6^2=2,56

\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}, sest \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}

Ruutjuur on lõpmatu kümnendmurd.

\sqrt{7}=2,6457513...

\sqrt{102}=10,0995049...

\sqrt{\frac{1}{10}}=0,3162277...

\sqrt{0,9}=0,9486832...

Kui täisarv on ruutarv, siis ruutjuur on täisarv.

Kui täisarv ei ole ruutarv, siis ruutjuur on alati lõpmatu kümnendmurd ehk irratsionaalne arv.

[graafik]

Distantsõpe

ptk 3.1

Juhendada õpilast, millised peatüki osad on tingimata vaja läbi töötada ja millised võivad jääda õpilase valida.

Tagasiside saamiseks saata õpilasele ülesannete kogust lahendamiseks 2–3 jõukohast ülesannet.

Seotud sisu
Muud tegevused

2. Süvendamine ja kinnistamine

  • Selgitused ja näpunäited
    • Arvtelg
    • Tabel irratsionaalarvude paiknemise kohta
    • Dünaamiline arvtelg irratsionaalarvude paiknemisest
    • Tehete järjekorra näited
    • Arvuhulkade joonis.
  • Liikumispaus

7

Selgitused ja näpunäited

  • Tutvudes irratsionaalarvudega, on hea, kui õpilased saavad  märkida arvteljele 0 < x < 4 arvude \sqrt{2},\ \sqrt{3},\ ...,\ \sqrt{10} ligikaudse paiknemiskoha. Seda võib organiseerida ka tabelina. Oluline on, et õpilastel tekiks ülevaade.
  • Kui on kohane, võib õpilastel paluda tabeli täitmist jätkata mõnda lisatingimust arvestades, näiteks nii: „Märgi järgmisele reale ruutjuur täisarvust, mis on küll irratsionaalne, aga arvule 6 võimalikult lähedal.“
  • ül 19, 20 lahendamise eel on hea üle vaadata tehete järjekorra näited.

Koos lahendatav ülesanne

[graafik]
Tehete järjekord

Juurimine ja astendamine on tehete järjekorras võrdsed.

  1. \left(2+3\right)^2
    enne liidan, siis astendan.
  2. \sqrt{3-2}
    enne lahutan, siis juurin​.
  3. 2^2-3^2
    enne astendan, siis lahutan.
  4. \sqrt{3}+\sqrt{2}
    enne juurin, siis liidan​​​.
Ratsionaalarvude hulk ℚ koos irratsionaalarvude hulgaga I moodustavad reaalarvude hulga ℝ. Reaalarvude hulk ℝ sisaldab endas kõiki varemõpitud arvuhulki ℕ, ℤ, ℚ.

Liikumispaus

1 minut

Seotud sisu
Muud tegevused

3. Õpilaste iseseisev tegevus

  • Harjutuste loetelu
  • Ülesannete loetelu
  • Valitud ülesannete lahendusi
    • Õpiku ül 35.1,6
    • Õpiku ül 37.1
    • TV ül 18

20

Valida tundi õpilastele jõukohased ülesanded. Leida võimalus, et õpilased saaksid oma lahendusi kaaslastele esitleda.

Harjutused

  • ül 16–20
  • ül 31, 32, 34
  • ül 34. 4, 5 on jäetud kodutöö üheks variandiks
  • ül 9–17
  • ül 19, 20
  • ptk 3.1 ülesannete kogust „Puuduvad juuremärgid“

Ülesanded

  • ül 21
  • ül 22
  • ül 35–38
  • ül 39
  • ül 40 on jäetud kodutöö üheks variandiks
  • ül 18
  • ptk 3.1 ülesannete kogust „Pindvõrdsed ristkülik ja ring “, 2​

Valitud ülesannete lahendusi

Õpiku ül 35.1,6

Võrdkülgse kolmnurga pindala saab arvutada valemiga S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

  • Kui S=\sqrt{3}, siis \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} ja
    a^2=4,\ a=2​
  • Kui S=81\sqrt{3}, siis \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3} ja
    a^2=324,\ a=18​
Õpiku ül 37.1

\sqrt{a-6}

Kui a-6=0, siis a=6 korral on juure väärtus 0,
​seega a\ge6, et juure alla tuleks mittenegatiivne arv.

\sqrt{3x+15}
Kui 3x+15=0, siis x=-5 korral on juure väärtus 0,
seega x\ge-5, ​​​et juure alla tuleks mittenegatiivne arv.

Tv ül 18
  1. \sqrt{2-m}
    m\in\left\{-7,-2,-1,\ 2,\ 0\right\}
  2. \sqrt{4y+4}
    y\in\left\{-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 5\right\}
  3. \sqrt{2a-3}
    a\in\left\{3,\ 4,\ 5\right\}
  4. \sqrt{x-8}
    x\in\left\{8,\ 10\right\}
  5. \sqrt{3x-1}
    x\in\left\{1,\ 3,\ 4\right\}​​​​​
Seotud sisu
Muud tegevused

Lisamaterjal

Arvude omadused 1

Lihtmurdude summa omadus
  • Kirjuta nii palju lihtmude, kui soovid.
    Märka. Lihtmurdude lugejad on nimetajast väiksemad.
    ​Nii nimetajad kui ka lugejad on positiivsed.​
  • Moodusta uus lihtmurd, mille lugeja on kõikide kirjapandud murdude lugejate summa ning nimetaja on kõikide nimetajate summa.

See murd on kindlasti suurem, kui kirjapandud vähim murd ja kindlasti väiksem kui kirjapandud suurim murd.

Veendu!
Kasuta kalkulaatorit või äppi.​

Näide
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{7},\frac{1}{10},\frac{6}{121}
Neist suurim on \frac{1}{2}=0,5, neist vähim on \frac{6}{121}\approx0,0496.
Uus murd \frac{11}{143}\approx0,07692
​ja see on suurem kui \frac{6}{121},\ aga väiksem kui \frac{1}{2}.​​​

  • Too näide 3 murru korral.
  • Too näide vähemalt 10 murru korral.
  • Kui saad kasutada mõnda tabelarvutusprogrammi, too näide rohkem kui 50 murru korral.
Mõtlemise paindlikkuse arendamine
Seotud sisu
Muud tegevused

Kodutöö ja tunni kirjeldus

Kodutöö

≈ 10–20 min. Võimalik on valida igale õpilasele üks jõukohane ülesanne nende hulgast.

Kodutöö

Õpitu kordamine

Õpiku ül 34.4,5

Kodutöö

Õpitu rakendamine uues olukorras

Õpiku ül 40

Tunni kirjeldus

Ruutjuur ja irratsionaalarvud

Õpiku ptk 2.1
​TV ül 8–10
​Opiqu ptk 3.1

Seotud sisu
Muud tegevused