Naturaalarvulise astendajaga aste

Astme mõiste
Põhitehted astmetega

Seotud sisu

Astme mõiste

Arvu a aste

Mingi suuruse a n-is aste on korrutis, milles see suurus esineb tegurina täpselt n korda.

aⁿ = a · a · ... · a, n ∈ $ℕ$ n tegurit

a on astme alus

n on astendaja ehk astmenäitaja

aⁿon aste ehk astmeavaldis

Märka

Negatiivse arvu paarisarvuline aste on alati positiivne.

Näited

4³ = 4 · 4 · 4 = 64
${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$
${(- x)}^{2} = (- x) \cdot (- x) = x^{2}$
${(- 1 \frac{2}{3})}^{3} =$ $- \frac{5}{3} \cdot (- \frac{5}{3}) \cdot (- \frac{5}{3}) =$ $- \frac{125}{27}$

49
–49
14
–14

7² =

(–7)² =

–7² =

–[–(–7)²] =

1,96
–1,96
0,16
–0,16

${(1 \frac{2}{5})}^{2} =$

${(- 1 \frac{2}{5})}^{2} =$

${(1 \cdot \frac{2}{5})}^{2} =$

$- {(- 1 \frac{2}{5})}^{2} =$

Seotud sisu

Tehted astmetega

Sama alusega astmete korrutamisel astendajad liidetakse.

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

Sama alusega astmete jagamisel astendajad lahutatakse.

$a^{m} : a^{n} = \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega.

${(a b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

Jagatise aste võrdub jagatava ja jagaja astmete jagatisega.

${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$

Astet astendades astendajad korrutatakse.

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

Märka

$2^{3^{2}} \neq {(2^{3})}^{2},$
sest
$2^{3^{2}} = 2^{9} = 512,$
aga
${(2^{3})}^{2} = 8^{2} = 64 .$

Näited

Astmete korrutamine

3⁵ · 3⁴ · 3³ = 3⁵⁺⁴⁺³ = 3¹²
$y \cdot y^{2} \cdot y^{7} \cdot y^{9} = y^{1 + 2 + 7 + 9} = y^{19}$

Astmete jagamine

5²¹ : 5¹⁸ = 5^21–18 = 5³ = 125
$\frac{m^{12 x}}{m^{10 x}} = m^{12 x - 10 x} = m^{2 x}$

Korrutise aste

(2xy)⁴ = 2⁴ · x⁴ · y⁴ = 16x⁴y⁴
(3 · 4)⁴ = 3⁴ · 4⁴ = 81 · 256 = 20 736

Jagatise aste

${(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{2^{5}}{3^{5}} = \frac{32}{243}$
${(\frac{4 x}{5 y})}^{3} = \frac{4^{3} \cdot x^{3}}{5^{3} \cdot y^{3}} = \frac{64 x^{3}}{125 y^{3}}$

Astme aste

(2²)³ = 2² ^· ³ = 64
(st⁵p³)⁷ = s⁷ · t^5 ⋅⁷ · p^3 · 7 = s⁷t³⁵p²¹

64
–64
–324
324

${(- 2)}^{10} \cdot 2^{3} : 2^{7} =$
${(- 2 \cdot 3^{2})}^{2} =$
$- {(- 2^{3})}^{2} =$
${(- \frac{{(- 6)}^{2}}{2})}^{2} =$

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

3⁴ – (–2)⁵ + 7¹ – (–4)² =
5³ – (–1)⁶ – 4² + (–23)¹ =
0,3³ + 0,8² – (–0,1)² + (–0,4)³ =

${(\frac{1}{2})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{2} - {(\frac{5}{8})}^{2} + {(- \frac{1}{4})}^{3} =$ $\frac{}{}$
${(- \frac{5}{6})}^{2} - {(\frac{2}{3})}^{3} - {(- \frac{1}{3})}^{4} - {(\frac{4}{9})}^{1} =$ – $\frac{}{}$
${(- \frac{2}{5})}^{3} + {(\frac{3}{125})}^{1} - {(\frac{1}{25})}^{2} + {(- \frac{4}{5})}^{4} =$ $\frac{}{}$

–59
8
584
139
–71
512
61

5⁹ ⋅ 5¹⁰ : 5¹⁷ + 6¹⁵ : 6¹⁴ ⋅ 6 =
25¹⁷ : 25¹⁶ ⋅ 25 – 9⁶ ⋅ 9¹² : 9¹⁶ – 2⁵ =
(–12)¹³ : (–12)¹¹ + (–5)² ⋅ (–5)⁷ : (–5)⁸ =
125² : 25² – 8³ ⋅ 0,5³ + 64⁵ : (–32)⁵ =
12³ : 24³ ⋅ 6³ – 180² : 45² ⋅ 0,5² – 15 =

${1,2}^{4} - {(- \frac{2}{5})}^{3} + {(- 2 \frac{3}{5})}^{2} - {(- 0,8)}^{1} =$
${(- 1 \frac{1}{5})}^{2} + {(- \frac{1}{10})}^{1} - {(- 1,4)}^{3} + {0,2}^{4} =$
${(\frac{2}{3})}^{3} + {0,25}^{2} + {(\frac{4}{9})}^{1} - {(- 0,5)}^{4} =$ $\frac{}{}$

$\frac{3^{2} \cdot 27^{5}}{81^{4}} =$ $\frac{3^{}}{3^{}} =$
$\frac{4^{5} \cdot 2^{6}}{8^{3}} =$ $\frac{2^{}}{2^{}} =$
$\frac{125^{2} \cdot 25^{4}}{5^{10}} =$ $\frac{5^{}}{5^{}} =$

$\frac{18^{5} \cdot 7^{2}}{9^{5} \cdot 14^{2}} =$ $\frac{2^{}}{2^{}} =$
$\frac{12^{4} \cdot 5^{2}}{3^{4} \cdot 10^{2}} =$ $\frac{2^{}}{2^{}} =$
$\frac{15^{6} \cdot 4^{4}}{5^{6} \cdot 12^{4}} =$ $\frac{3^{}}{3^{}} =$

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Naturaal­arvulise astendajaga aste

Seotud sisu

Astme mõiste

Arvu a aste

Märka

Näited

Seotud sisu

Tehted astmetega

Märka

Näited

Astmete korrutamine

Astmete jagamine

Korrutise aste

Jagatise aste

Astme aste

Seotud sisu

Harjuta ja treeni

Seotud sisu

Valemid

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Naturaalarvulise astendajaga aste