Окружность и круг

Из параграфа узнаешь:

  • как вычислить длину окружности по формуле C = dπ = 2rπ,
  • как вычислить площадь круга по формуле S = r2π,
  • приближенное значение числа π ≈ 3,14.

Что такое окружность и круг?

Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной точки. Эта точка называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также длина этого отрезка называется радиусом окружности r. Отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности, называется диаметром d. При этом d = 2r.

Длина окружности выражается формулами
C = dπ = 2rπ.

Примечание

В полной записи числа π (читай: пи) после запятой стоит бесконечное количество знаков. Поэтому на практике пользуются приближенными значениями. Например, 3,14 или 227 .

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Площадь круга вычисляется по формуле
S = r2π.

Подумай, на какие элементы можно разбить фигуру

Фигура состоит из двух полукругов.

  • Радиус большего полукруга
     см.
  • Диаметр меньшего полукруга 
    d см и радиус r см.

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно

  • сложить площади двух полукругов.
  • из площади одного полукруга вычесть площадь другого.
  • Площадь большего круга
    S · π =  (см2)
    Площадь большего полукруга
     см2.
  • Площадь меньшего круга 
    S · π =  (см2)
    Площадь меньшего полукруга
     см2.

Ответ: площадь фигуры  см2.

Фигура состоит из двух полукругов.

  • Больший полукруг:
     см
     см
  • Меньший полукруг:
    d см

Чтобы найти периметр закрашенной фигуры, нужно  и  радиус большей окружности.

  • Половина длины большей окружности
     см.
  • Половина длины меньшей окружности
     см.

Ответ: периметр фигуры  см.

Упражнения

К квадрату добавлен полукруг

Если сторона квадрата 12 м, то радиус круга  м.

Формула площади квадрата:

  • 4a
  • a²

Формула площади круга:

  • 2 ⋅ r ⋅ π
  • r² ⋅ π

Ответ: площадь фигуры  м2. 

К прямоугольнику добавлен круг

Формула площади прямоугольника:

  • ab
  • 2(a + b)

Формула площади круга:

  • 2 ⋅ r ⋅ π
  • rr ⋅ π

Ответ: площадь фигуры  м2

Что нужно вычислить: диаметр круга, длину окружности или площадь круга?
​Какова величина поверхности, которую освещает лампа​?

Нужно вычислить 

Расстояние от лампы до поверхности в 2 раза меньше, чем диаметр освещаемой поверхности. Лампа находится на высоте 1,5 м.

При π = 3 освещаемая поверхность
 м2.

Из прямоугольника вырезан полукруг

Меньшая сторона прямоугольника  см и большая сторона  см.

Площадь круга  см2.

Ответ: площадь фигуры  см2.

Из квадрата вырезана четверть круга и результат добавлен к четверти круга

Из квадрата со стороной 
 см вырезана четверть круга.

Если радиус равен 10 см, то площадь круга  см2.

Ответ: площадь фигуры  см2.

Лишнее действие
В этом задании нет непременной необходимости производить вычисления, используя формулу площади круга. Задание можно решить методом "отрежь и приклей".
Что нужно вычислить: диаметр круга, длину окружности или площадь круга?
​Какое количество семян необходимо, чтобы засеять площадку в форме круга?

Нужно вычислить 

Семян уходит 200 гм2. Диаметр площадки в форме круга равен 4 м.

При π = 3 необходимо  кг семян.

Если радиус окружности равен 8 см, то ее длина
 см.

Три четверти длины окружности составляют
 см.

Ответ: периметр фигуры  см.

Периметр фигуры
К трем четвертям окружности нужно прибавить 2 радиуса круга.

120° составляют одну  полного угла, так как полный угол равен
°.

Если радиус окружности равен 6 см, то ее длина
 см.

Одна третья часть длины окружности составляет
 см.

Ответ: периметр фигуры  см.

Периметр фигуры
К одной третьей окружности нужно прибавить 2 радиуса круга.
Что нужно вычислить: диаметр круга, длину окружности или площадь круга?
​Какой размер имеют данные кольца?

π = 3,14. Округли ответы в таблице до целых.

Длина внутренней окружности (мм)

Диаметр (мм)

Размер

16,92

17

66

21

Диаметр круга  см.
Большая сторона параллелограмма, здесь основание, составляет
 см.
Высота параллелограмма
 см.

На какие части можно разбить фигуру?
К параллелограмму добавлен полукруг.

Ответ: площадь фигуры  м2 (округли до десятых).

Радиус полукруга  дм.
Основание треугольника
 дм.
Высота треугольника
 дм.

На какие части можно разбить фигуру?
К треугольнику добавлен полукруг.

Ответ: площадь фигуры  дм2 (округли до десятых).

Что нужно вычислить: диаметр круга, длину окружности или площадь круга?
​Сколько полных оборотов сделало колесо, если велосипед проехал 10 м?

Нужно вычислить 

Диаметр колеса
26″ = 66,04 см.

При π = 3,14 длина одного полного оборота  см (округли до десятых).

Если велосипед проехал 10 м, то до 5 полных оборотов не хватило  см.

Формулы и правила

  • Площадь круга S = r2π. 
  • Длина окружности C = dπ = 2rπ.
  • Приближенное значение числа π равно 3,14 или 227.
Palun oota