Koosinus­teoreem

Teoreem

Kolmnurga ühe külje ruut võrdub teiste külgede ruutude summaga, millest on lahutatud teiste külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis.

a² = b² + c² – 2bc⋅ cos α

b² = a² + c² – 2ac⋅ cos β

c² = a² + b² – 2ab⋅ cos γ​

Eeldus
​Kolmnurga ABC küljed on a, b ja c ning vastavad vastas­nurgad α, β ja γ.

Väide
​Kehtivad valemid

a² = b² + c² – 2bc⋅ cos α
b² = a² + c² – 2ac⋅ cos β
c² = a² + b² – 2ab ⋅ cos γ

Tõestus

Tõestame kolmanda võrduse. Esimesed kaks tõestatakse analoogselt.

Olgu γ teravnurk. Tõmbame tipust A kõrguse AD = h ja tähistame CD = d.

Täisnurksest kolmnurgast ADC leiame

h = b⋅ sinγ ja d = b ⋅ cos γ.

Täisnurkses kolmnurgas ABD on h ja (a – d) kaatetid ning c hüpotenuus. Pythagorase teoreemi põhjal

c² = h² + (a – d)² =
=​ h² + a² + d² – 2ad =
​= b² sin²γ + a² + b²cos²γ – 2ab · cos γ =
​= a² + b²(sin²γ + cos²γ) – 2ab · cos γ =
=​ a² + b² – 2ab · cos γ.

Tõestus jätkub järgmisel slaidil.

Nürinurk

Kui γ on nürinurk, siis asub kõrguse AD = h otspunkt D külje BC pikendusel.

Täisnurksest kolmnurgast ACD saame nüüd

h = bsin(π – γ) =​ b · sin γ

​ja
​d = bcos(π – γ) = –b · cos γ.

Pythagorase teoreemi kohaselt

c² = h² + (a + d)² =
=​ h² + a² + d² + 2ad =
​= a² + b²sin²γ + b²cos²γ – 2ab · cos γ =
=​ a² + b² – 2ab · cos γ.

Saime sama tulemuse. ■