Kolmnurga pindala

Kolmnurga pindala leidmine

aluse ja kõrguse kaudu
kahe külje ja nendevahelise nurga kaudu
ühe külje ja nurkade kaudu
külgede kaudu (Heroni valem)
ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse kaudu
külgede ja ümberringjoone raadiuse kaudu

Alus ja kõrgus

Vaatleme siin kolmnurga pindala arvutamise võimalusi. Teame, et kolmnurga pindala saab arvutada aluse ja kõrguse poole korrutise kaudu.

b = cm

Vastus. Kolmnurga pindala
S = cm².

$S = \frac{1}{2} a h$

Seotud sisu

Kaks külge ja nendevaheline nurk

Veel saab pindala leida kahe külje ja nendevahelise nurga järgi.

See valem tuleneb eelmisest, kui kasutada võrdust

h = b · sin(π – γ) = b · sin γ.

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \cdot sin °$

Vastus. Kolmnurga pindala
S = cm².

$S = \frac{1}{2} a b \cdot sin γ$

Seotud sisu

Külg ja kolm nurka

Valemist h = b · sin γ saame tuletada pindala valemi ühe külje ja kolme nurga järgi. Selleks avaldame külje b külje a kaudu, kasutades siinusteoreemi:

$\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} \Leftrightarrow b = \frac{a \cdot sin β}{sin α} .$

Kolmnurga pindala võrdub külje ruudu ja lähisnurkade siinuste poole korrutisega, mis on jagatud vastasnurga siinusega.

$S = \frac{a^{2} sin β sin γ}{2 sin α}$

Kaateti a vastasnurk
α ≈ °,
kaateti a puuduv lähisnurk
β ≈ °.

$S \approx \frac{8^{2} \cdot sin ° \cdot sin °}{2 \cdot sin °}$

Vastus. Kolmnurga pindala
S ≈ cm².

Miks ei saa selle pindalavalemiga täpset tulemust?

Seotud sisu

Kolm külge. Heroni valem

Kui on antud kolmnurga kolm külge, siis saab kasutada Heroni valemit.

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)},$

kus p = $\frac{1}{2}$ (a + b + c) on pool kolmnurga ümbermõõdust.

Heroni valemi tuletamine

Lähtume pindala valemist kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

$S = \frac{1}{2} a b \cdot sin γ .$

Avaldame siinuse koosinuse kaudu: $sin γ = \sqrt{1 - {cos}^{2} γ} .$

Koosinusteoreemist c² = a² + b² – 2ab · cos γ leiame 2ab · cos γ = a² + b² – c², seega,

$S = \frac{1}{4} \sqrt{{(2 a b)}^{2} - {(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2}} .$

Tegurdame ruutjuurealuse avaldise, kasutades kahel korral ruutude vahe valemit:

(ab)² – (a² + b² – c²)² =
= (2ab + a² + b² – c² )(2ab – a² – b² + c² =
= [(a + b)² – c²][c² – (a – b)²] =
= (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b) =
= 2p(2p – 2c)(2p – 2b)(2p – 2a) =
= 16p(p – a)(p – b)(p – c),

kus p = $\frac{1}{2}$ (a + b + c) on pool kolmnurga ümbermõõdust. Järelikult,

$S = \frac{1}{4} \sqrt{16 p (p - a) (p - b) (p - c)} =$ $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)},$

mis ongi Heroni valem. ■

a = cm
b = cm
c = cm
p = cm

Vastus. Täisnurkse kolmnurga pindala
S = cm².

Seotud sisu

Siseringjoone seos pindalaga

Vaatleme kolmnurga pindala seost siseringjoone ja välisringjoone raadiusega.

Olgu kolmnurga siseringjoone raadius r. Kolmnurk ABC jaotub kolmeks kolmnurgaks AOB, AOC ja BOC, milles r on kõrguseks.

Järelikult,

S = S_BOC + S_AOC + S_AOB =
= $\frac{1}{2}$ ar + $\frac{1}{2}$ br + $\frac{1}{2}$ cr =
= $\frac{1}{2}$ (a + b + c)r.

Tähistame saadud valemis pool kolmnurga ümbermõõtu $\frac{1}{2} (a + b + c)$ tähisega p ja saame kolmnurga pindala valemiks S = pr.

Kolmnurga pindala võrdub poole ümbermõõdu ja siseringjoone raadiuse korrutisega.

S = pr

r = cm
p = cm

Vastus. Kolmnurga pindala
S = cm².

Seotud sisu

Ümberringjoone seos pindalaga

Siinusteoreemist on teada, et mingi külje ja selle vastasnurga siinuse suhe on võrdne ümberringjoone diameetriga ehk kahekordse raadiusega. Seega,

$\frac{c}{sin γ} = 2 R$ ja $sin γ = \frac{c}{2 R} .$

Kui asendame saadud avaldisega siinuse valemis $S = \frac{1}{2} a b \cdot sin γ,$ saame $S = \frac{a b c}{4 R} .$

Kolmnurga pindala võrdub külgede korrutisega, mis on jagatud ümberringjoone neljakordse raadiusega.

$S = \frac{a b c}{4 R}$

Täisnurkse kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub

lühema kaateti keskpunktis.
pikema kaateti keskpunktis.
hüpotenuusi keskpunktis.
külgede keskristsirgete lõikepunktis.

R = cm
a = cm
b = cm
c = cm

Vastus. Kolmnurga pindala
S = cm².

Seotud sisu

Harjutan ja lahendan

Vastuste tabel järgmisel slaidil, erinevused on tingitud valemite valikust.

	1.	2.	3.	4.
a	8		39,4	5,9
b		5	23	5,1
c		4		7,8
α	°*	°	95°	°
β	63°	°	°	°
γ	69°	°*	°*	°*
S		7,6

* Arvuta lahutamistehtega.

Vastused

	1.	2.	3.	4.
a	8	3,9	39,4	5,9
b	9,6	5	23	5,1
c	10,1	4	30,0	7,8
α	48°	49,5°	95°	49,1°
β	63°	77,1°	35,6°	40,8°
γ	69°	53,4°	49,4°	90°1
S	35,8	7,6	344,1	15,04

Pindala valemid

$S = \frac{1}{2} a h$
$S = \frac{1}{2} a b \cdot sin γ$
$S = \frac{a^{2} sin β sin γ}{2 sin α}$
$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Kolmnurk ABC
- ∠C ≈ °
- ∠A ≈ °
- S_ABC ≈
Kolmnurk CDE
- CE ≈
- S_CDE ≈

Kolmnurk BCD
- ∠DCB = °
- CB =
- S ≈
Kolmnurk ABC
- p =
- S ≈

Kolmnurk ABC
- ∠A = °
- S ≈
Kolmnurk ABD
- S ≈
Kolmnurk BCD
- ∠CDB = °
- ∠CBD = °
- S ≈

1. kolmnurk

a = 10 cm
h_a = 5 cm
S = cm²

2. kolmnurk

a = 6
b = 4
sin γ = 0,6
S =

3. kolmnurk

a = 4
α = 30°
γ = 40°
β = °
S ≈

4. kolmnurk

a = 44
b = 17
c = 39
p =
S =

1. kolmnurk

a = 21
b = 17
c = 10

p =
S =
r =
R =

2. kolmnurk

a = 25
b = 29
c = 36

p =
S =
r =
R =

3. kolmnurk

a = 25
b = 39
c = 56

p =
S =
r =
R =

Seotud sisu

Teenust osutab Star Cloud OÜ

Liitu Opiquga

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Kolmnurga pindala

Seotud sisu

Alus ja kõrgus

Seotud sisu

Kaks külge ja nendevaheline nurk

Seotud sisu

Külg ja kolm nurka

Seotud sisu

Kolm külge. Heroni valem

Heroni valemi tuletamine

Seotud sisu

Siseringjoone seos pindalaga

Seotud sisu

Ümberringjoone seos pindalaga

Seotud sisu

Harjutan ja lahendan

* Arvuta lahutamistehtega.

Vastused

Pindala valemid

1. kolmnurk

2. kolmnurk

3. kolmnurk

4. kolmnurk

1. kolmnurk

2. kolmnurk

3. kolmnurk

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid