Метод доказательства от противного

Для доказательства теорем в математике часто пользуются так называемым методом доказательства от противного, в основе которого лежит один из законов логики: для каждого утверждения истинно либо само утверждение, либо его отрицание, третьего быть не может. В этом случае предполагают, что заключение теоремы не является истинным, а истинным является его отрицание. В ходе рассуждения показывают, что отрицание заключения теоремы приводит к противоречию с условием теоремы или с каким-нибудь истинным утверждением. Отсюда следует, что отрицание доказываемого заключения теоремы не может быть истинным, и, значит, истинным является заключение теоремы.

При доказательстве от противного надо уметь строить отрицания утверждений. Научись и ты этому.

Солнце светит.
Вода – мокрая.
Высота класса равна 5 м.
Прямые a и b пересекаются.
Число x делится на 3.

Треугольник является тупоугольным.
Прямые a и b не параллельны.
Число a не является положительным.
x < 0.
m ≥ 0.

Число 9 делится на 3.
Отрицание:
Истинным является .

Прямые a и b на рисунке пересекаются.
Отрицание:
Истинным является .

Прямые a и b на рисунке перпендикулярны.
Отрицание:
Истинным является .
Прямые a и b на рисунке параллельны.
Отрицание:
Истинно .
a³ = a · a · a · a.
Отрицание:
Истинно .
7 + 5 = 75.
Отрицание:
Истинно .

Рассмотрим некоторые примеры на доказательство от противного. Но сначала вспомним определение параллельных прямых: две прямые называются параллельными, если они расположены на одной плоскости и не пересекаются.

Прямые a и b не параллельны, а пересекаются в точке P.

Прямые a и b не пересекаются, но не лежат в одной плоскости. Прямые a и b не являются параллельными.

Основное свойство параллельных прямых выражается аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной прямой.

1. Если две прямые a и b параллельны третьей прямой с, то они параллельны друг другу.

Условие. a || c и b || c (см. рисунок).

Заключение. a || b.

Доказательство (от противного). Предположим, что справедливо отрицание доказываемого утверждения, т. е. прямые a и b не параллельны. Это утверждение предполагает, что прямые пересекаются в некоторой точке P (см. рисунок), так как на плоскости третьей возможности быть не может.

Но в этом случае через точку P проходят две различные прямые, которые обе параллельны прямой c. Однако это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые a и b не пересекаются, т. е. они параллельны. ■

2. Если прямая с пересекает одну из двух параллельных прямых a и b, то она пересекает и другую прямую.

Условие. a || b и c пересекается с прямой b.

Заключение. Прямая c пересекает прямую b.

Доказательство (от противного). Сделаем предположение, противоположное тому, что утверждается в теореме, т. е. допустим, что прямые c и b не пересекаются. Отсюда следует, что c || b. Но в этом случае через точку P проходят две прямые a и c, каждая из которых параллельна прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые c и b должны пересекаться. ■

3. Если две прямые a и b перпендикулярны третьей прямой c, то прямые a и b параллельны.

Условие. a ⊥ c и b ⟘ c.

Заключение. a || b

Докажи эту теорему самостоятельно методом доказательства от противного, пользуясь рисунком. Какому утверждению противоречит предположение о том, что прямые a и b не параллельны?