Будем учиться доказывать

При доказательстве теоремы исходят из условия теоремы и ранее известных истин. В ходе логического рассуждения приходят к полной убежденности в справедливости заключения теоремы. 

Рассмотрим некоторые примеры.

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка.

Условие. Прямая s является серединным перпендикуляром отрезка AB: AC = BC, s ⟘ AB, точка M расположена на прямой s (рис. А).

Заключение. AM = BM (рис. В).

Доказательство.

  1. Соединим точку M отрезками с точками A и B. Рассмотрим треугольники ACM и BCM. В этих треугольниках AC = BC (по условию теоремы), ∠ACM = ∠BCM = 90° (по условию) и MC является общей стороной треугольников. Следовательно, DACM = DBCM (признак СУС).
  2. AM = BM, поскольку соответствующие стороны равных треугольников равны. ■

Знак ■ обозначает конец доказательства.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Условие. Луч s делит угол O пополам и точка M расположена на луче s.

Заключение. MA = MB.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Доказательство. Рассмотрим два образовавшихся прямоугольных треугольника: ∆OBM и ∆OAM.

Об этих треугольниках известно, что:

1. ∠AOM = ∠BOM – по условию.

2. ∠OMA = ∠OMB, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3. У треугольников общая гипотенуза OM.

4. Из предыдущих пунктов следует, что по признаку УСУ треугольники равны: ∆OBM = ∆OAM.

5. MA = MB, так как соответственные стороны равных треугольников равны. ■

Убедись в справедливости теоремы с помощью программы GeoGebra.

„Прямая”
„Луч”

Построй некоторый треугольник. Для этого в нижнем меню кнопки „Прямая” выбери инструмент „Луч”. Щелкни мышью в две произвольно выбранные точки, и ты получишь луч AB. Затем щелкни мышью в точку А и затем в какую-нибудь точку, не лежащую на полученном луче. Получатся два луча с общим началом, образующие угол BAC.

„Перпендикулярная п”
„Биссектриса угла”

Построй биссектрису угла BAC. В меню кнопки „Перпендикулярная прямая” выбери инструмент „Биссектриса угла” и щелкни мышью последовательно в точки B, A и C.

„Точка”

Выбери инструмент „Точка”, щелкни мышью в произвольную точку биссектрисы. Получится точка D, расположенная на биссектрисе.

Теперь найди расстояния от точки D до сторон угла: проведи из точки D перпендикуляры к обеим сторонам и измерь их.

„Перпендикулярная прямая”

Выбери инструмент „Перпендикулярная прямая”. Щелкни мышью в точку D и на одну из сторон, затем в точку D и нa другую сторону. Получатся перпендикуляры, проведенные к сторонам угла из точки D.

„Точка”
„Пересечение двух объектов“

В меню кнопки „Точка” выбери инструмент „Пересечение двух объектов“. Щелкни мышью на перпендикуляры и на стороны угла, чтобы получить точки E и F их пересечения.

Теперь остается измерить длины перпендикуляров DF и DE и убедиться в том, что они равны.

„Угол”
„Расстояние или длина“

Выбери в меню кнопки „Угол” инструмент „Расстояние или длина“ и щелкни мышью в концы отрезков DF и DE. Ты увидишь, чему равны длины этих отрезков. Убедись, что они равны.

Дано: CF ⟘ AB, ∠ACD = ∠BCE. Ниже доказано, что ∠DCF = ∠ECF, но подробные обоснования опущены. Найди самостоятельно все недостающие обоснования и сформулируй их устно.

Доказательство.

1. ∠ACF = ∠BCF = 90°, так как …
​2. ∠DCF = 90° – ∠ACD, так как …
​3. ∠ECF = 90° – ∠BCE, так как …
​4. ∠DCF = ∠ECF, так как … ■

Докажем, что сумма любых двух нечетных чисел x и y является четным числом.

Условие. Числа x и y являются нечетными числами.

Заключение. Сумма x + y является четным числом.

Доказательство. Нечетные числа x и y запишем в виде x = 2n + 1 и y = 2k + 1, где n и k – целые числа. Тогда сумма этих чисел:

x + y = 2n + 1 + 2k + 1 = 2n + 2k + 2 = 2(n + k + 1).

Так как n и k являются целыми числами, то и сумма n + k + 1 есть целое число. Следовательно, сумма x + y является произведением целого числа на число 2, значит, она четна. ■

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

  1. 1) Все тартусцы являются жителями Эстонии.
    2) Юхан живет в Тарту.
    Следствие: 
  2. 1) Все рыбы умеют плавать.
    2) Треска является рыбой.
    Следствие: 
  1. 1) Ни одно нечетное число не делится на 2.
    2) Число 34 569 является нечетным.
    Следствие: 
  2. 1) На плоскости любые две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны.
    2) Прямые a и b не параллельны.
    Следствие: 
  1. 1) Всякий треугольник является либо остроугольным, либо тупоугольным, либо прямоугольным.
    2) Треугольник ABC не является прямоугольным.
    Следствие: 
  2. 1) Если запись числа оканчивается нулем, то это число делится на 5.
    2) Число x не делится на 5.
    Следствие: 

Какие еще равные отрезки и равные углы есть на рисунке?

Какие еще равные отрезки и равные углы есть на рисунке?

К какому виду относится четырехугольник ABCD?

Докажи, что:

  1. AD = BD;
  2. ∠A = ∠B.

Подсказка
Общий вид четного числа 2n, а общий вид нечетного 2n + 1.

Подсказка
Общий вид четного числа 2n, а общий вид нечетного 2n + 1.

Подсказка
Общий вид четного числа 2n, а общий вид нечетного 2n + 1.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

  1. ∆ACE = ∆BCD;
  2. ∠BAE = ∠ABD.
  1. Выведи еще какие-нибудь утверждения относительно отрезков, углов и треугольников, имеющихся на этом рисунке.

Подсказка
Общий вид нечетного числа есть 2n + 1.

Подсказка
Общий вид нечетного числа 2n + 1, а общий вид четного 2n.

Подсказка
Два после­дова­тель­ных нату­ральных числа есть n и n + 1.

Подсказка
Общий вид четного числа есть 2n.

Подсказка
Два последовательных четных числа – это 2n и 2n + 2.

m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2,
или
(m – n)2 = (n – m)2.

Из последнего равенства мы заключаем, что

m – n = n – m,
или
2m = 2n,
откуда m = n.

Таким образом, мы «доказали», что любые два числа равны! Где ошибка?

a2 – a2 = a2 – a2,
или
a(a – a) = (a – a)(a + a).

Разделим обе части последнего равенства на множитель a – a и получим, что a = a + a, или a = 2a. Итак, мы получили, что любое число равно удвоенному тому же числу! Где ошибка?

Seotud sisu
Muud tegevused