Hajuvuse karakteristikud

Kahe statistilise kogumi sagedustabelid on järgmised:

Mõlema kogumi korral on N = 28, \overline{x}=10, Me = 10. Esimesel juhul on tunnuse väärtused koondunud aritmeetilise keskmise ümber tihedamalt, teisel juhul hõredamalt. Selle kohta öeldakse, et esimesel juhul on tunnuse väärtuste hajuvus väiksem, teisel juhul suurem. Seni vaadeldud karakteristikud seda aga ei näita.Mingil määral iseloomustab hajuvust tunnuse muutumispiirkond (või selle pikkus – variatsioonrea ulatus), s.t piirkond minimaalsest väärtusest maksimaalse väärtuseni. Praeguse näite korral on need mõlema kogumi puhul samad, x_min = 7, x_max = 13. Seega ka see näitaja ei ütle alati, kummal juhul on hajuvus suurem.Seame eesmärgiks leida karakteristiku, mis iseloomustab tunnuse hajuvust aritmeetilise keskmise suhtes.Tunnuse üksiku väärtuse x_i kõrvalekallet (erinevust) keskmisest \overline{x} näitab hästi tunnuse väärtuse ja aritmeetilise keskmise vahe x_i-\overline{x}, mida nimetatakse väärtuse x_i hälbeks (aritmeetilisest keskmisest). Suurus \left|x_i-\overline{x}\right| näitab, kui suur on x_i erinevus aritmeetilisest keskmisest, ja vahe x_i-\overline{x} märk („+” või „–“) näitab, kas x_i>\overline{x} või x_i>\overline{x}.

Kogu variatsioonrea (andmestiku) kui terviku hajuvust \overline{x} suhtes iseloomustab aga kõigi hälvete kogu, seega järgneva tabeli andmed.

Et saadud tabeli põhjal on vahetult raske midagi otsustada tunnuse hajuvuse üle, oleks tarvis vastavat koondnäitajat, karakteristikut. Võib tunduda, et selleks sobib keskmine hälve (hälvete aritmeetiline keskmine). Kuid see on alati null, sest juba

aritmeetilise keskmise suhtes arvutatud hälvete summa on null, s.t $(x_{1} - \bar{x}) f_{1} + (x_{2} - \bar{x}) f_{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x}) f_{n} = 0$ .

Tõepoolest:

\left(x_1-\overline{x}\right)f_1+\left(x_2-\overline{x}\right)f_2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)f_n = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\overline{x}\left(f_1+f_2+...+f_n\right) = x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n-\frac{x_1f_1+x_2f_2+...+x_nf_n}{N}\cdot N = 0Et vältida hälvete vastastikust koondumist nulliks, kasutatakse hajuvust iseloomustava suurusena hälvete ruutude (saame positiivsed arvud) aritmeetilist keskmist, mida nimetatakse dispersiooniks ja tähistatakse sümboliga σ² (ka s²), arvutipõhistes arvutussüsteemides VARP.Seega on

$σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} f_{1} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} f_{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2} f_{n}}{N}$ .

Mida suurem on σ², seda suurem on tunnuse väärtuste hajuvus.

Saadud karakteristikul on hajuvuse iseloomustajana üks puudus – tema ühikuks on tunnuse ruutühik. Et sellest ebakõlast vabaneda, kasutatakse hajuvuse karakteristikuna standardhälvet σ (ka sümbol s):

$σ = \sqrt{σ^{2}} = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} f_{1} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} f_{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2} f_{n}}{N}}$ .

Arvutipõhistes arvutussüsteemides esineb sümbol STDEVP.

Enamiku tunnuste korral erineb üle poole andmetest aritmeetilisest keskmisest vähem kui standardhälbe σ võrra. Teisiti öeldes paikneb tavaliselt enamik tunnuse väärtustest piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ . Seetõttu antakse aritmeetiline keskmine sageli kujul $\bar{x} \pm σ$ .

Näide 1.

Leiame käesoleva peatüki alguses esitatud statistiliste andmete korral standardhälbed. Arvutused vormistame arvutuste lihtsustamise ja arusaadavuse huvides tabelina. Mõlemal juhul oli \overline{x}=10.

I kogumi korral on

σ = \sqrt{\frac{52}{28}} \approx 1,36

; II kogumi korral on

σ = \sqrt{\frac{150}{28}} \approx 2,31

. Tulemus kinnitab veel kord, et teise kogumi tunnuse väärtused hajuvad enam kui esimese kogumi tunnuse väärtused. Seejuures asub esimese kogumi korral piirkonnas

[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]

ehk [8,6; 11,4] 20 objekti (s.o. 71%), teise kogumi korral piirkonnas [7,6; 12,4] 16 objekti (s.o. 57%). Lakooniline vastus on seega I juhul \overline{x}=10\pm1,36 ja II juhul \overline{x}=10\pm2,31.

Dispersiooni σ² arvutamiseks saab defineerivast võrdusest tuletada praktilisema valemi

$σ^{2} = \bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}$ ,

kus \overline{x}^2 on aritmeetilise keskmise ruut, \overline{x^2} aga tunnuse väärtuste ruutude aritmeetiline keskmine, s.t\overline{x^2}=\frac{1}{N}\left(x_1^2f_1+x_2^2f_2+...+x_n^2f_n\right).Kasutades dispersiooni või standardhälbe valemit, võib leida hajuvuse mitte ainult aritmeetilise keskmise, vaid ka mõne teise arvu suhtes.

Näide 2. Näites 1 vaadeldud II kogumi korral on tunnuse väärtuste hajuvus mo = 12 suhtes\sqrt{\frac{\left(-5\right)^2\cdot8+\left(-4\right)^2\cdot2+\left(-3^2\right)\cdot1+\left(-2\right)^2\cdot4+\left(-1\right)^2\cdot1+0^2\cdot8+1^2\cdot4}{28}} = \sqrt{\frac{262}{28}} ≈ 3,06. Aritmeetilise keskmise suhtes oli see 2,31.

Osutub, et tunnuse väärtuste hajuvus aritmeetilise keskmise suhtes on alati väiksem kui mis tahes teise arvu suhtes, ehk teisiti,

tunnuse väärtused paiknevad kõige tihedamini aritmeetilise keskmise ümber.

Kahe kogumi võrdlemine hajuvuse seisukohalt taandub standardhälvete võrdlemisele. Nii tehakse näiteks ülesande 174 lahendamisel ja see on õigustatud, sest vastavad keskmised ei ole eriti erinevad. Kui see aga on nii, näiteks tahetakse võrrelda algkooli poiste ja täiskasvanud meeste pikkuse hajuvust vastavate keskmiste suhtes, ei ole selliselt õige toimida. Põhjuseks on liiga erinev pikkuste tase, mis avaldub ka aritmeetiliste keskmiste erinevuses. Niisugusel juhul on sobivam leida suhteline hajuvus, võrreldes keskmisega. See on

$v = \frac{σ}{\bar{x}}$ ,

mida nimetatakse variatsioonikordajaks, ja nagu ikka suhtarvu, võib selle esitada ka protsentides. Variatsioonikordajal on mõte vaid siis, kui tunnuse väärtused on positiivsed. Analoogiline situatsioon on erinevates ühikutes (näiteks sentimeetrites ja kilogrammides) mõõdetud tunnuste hajuvuse võrdlemisel. Nii näiteks tuleb kasutada variatsioonikordajat, kui uuritakse, kas 11. klassi noormeeste kehakaalu või pikkuse hajuvus on suurem.

Еще на эту тему

Ülesanded A

Ülesanne 174. Kontrolltöö tulemused

Leidke hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve ning hinnake, kummas klassis tehti kontrolltöö paremini. Kui palju hindeid (ka protsentides) paikneb kummalgi juhul piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ?

Vastus. A klassis oli hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve ning B klassis oli hinnete aritmeetiline keskmine ja standardhälve . Järelikult kontrolltöö tehti paremini klassis. Piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ paikneb A klassis hinnet ehk % hinnetest ja B klassis hinnet ehk % hinnetest.

Ülesanne 175. Algaja laskuri tulemused

Leidke laskuri tulemuste hajuvus. Kui palju tulemustest paikneb piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ?

Vastus. σ = . Piirkonnas $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ asub tulemust (ehk % laskudest).

Ülesanne 176. Neidude ja noormeeste pikkuste hajuvus

Ülesanne 177. Kontrolltöö hinnete hajuvus

Leidke oma klassi viimase matemaatika kontrolltöö hinnete hajuvus, leidke ka piirkond $[\bar{x} - σ; \bar{x} + σ]$ ja sellesse langevate hinnete protsent. Andke kontrolltöö tulemustele omapoolne hinnang.

Ülesanne 178. Mõõdetava suuruse väärtus

Ülesanne 179. Keskmine kehakaal ja selle hajuvus

Еще на эту тему

Ülesanded B

Ülesanne 180. Valemi tuletamine

$σ^{2} = \bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}$ .

Еще на эту тему

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Hajuvuse karakteristikud

Еще на эту тему

Ülesanded A

Ülesanne 174. Kontroll­töö tulemused

Ülesanne 175. Algaja laskuri tulemused

Ülesanne 176. Neidude ja noor­meeste pikkuste hajuvus

Ülesanne 177. Kontroll­töö hinnete hajuvus

Ülesanne 178. Mõõdetava suuruse väärtus

Ülesanne 179. Keskmine keha­kaal ja selle hajuvus

Еще на эту тему

Ülesanded B

Ülesanne 180. Valemi tuletamine

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie

Ülesanne 174. Kontrolltöö tulemused

Ülesanne 176. Neidude ja noormeeste pikkuste hajuvus

Ülesanne 177. Kontrolltöö hinnete hajuvus

Ülesanne 179. Keskmine kehakaal ja selle hajuvus