Vektorite summa

Vektorite liitmine
Kolmnurgareegel
Hulknurgareegel
Rööpkülikureegel

Samasihiliste vektorite liitmine

Olgu vektorid, mida me liidame, kollineaarsed. Vaatleme vektoreid kui nihkevektoreid, millega liigume ühest punktist teise. Summaarse nihke saamiseks jätkame liikumist esimese vektori lõpp-punktist teise vektori suunal selle vektori pikkuse võrra.

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}

Kui liidetavad vektorid on vastassuunalised, liigume esimese vektori lõpust vastassuunas ja tulemuseks on vektor, mille pikkus on liidetavate vektorite pikkuste vahe. Summaarse vektori suund ühtib pikema vektori suunaga.

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}

Liitmisreegel

Kahe vektori liitmiseks rakendame teise vektori alguspunkti esimese lõpp-punkti ning võtame summaarseks vektoriks esimese vektori alguspunktist teise vektori lõpp-punkti viiva vektori.

Näide 1

A(3; 11), B(0,5; 1) ja C(–1; –5). Need punktid asuvad sirgel y = 4x – 1. Veendume, et $\vec{A B}$ + $\vec{B C}$ = $\vec{A C}$ .

$\vec{A B}$ = (–2,5; –10),
$\vec{B C}$ = (–1,5; –6),
$\vec{A C}$ = (–4; –16).

Seega nihe x-telje sihis on –2,5+(–1,5) ja nihe y-telje sihis on –10+(–16) ning vektor

$\vec{A C}$ = (–2,5 –1,5; –10 –16) ⇒

$\vec{A C}$ = (–4; –16).

Mõtle

$\vec{A B} + \vec{C D} = (;)$

Kui summavektori alguspunkt on A, siis lõpp-punkt on koordinaatidega
(; ).
Kui summavektori alguspunkt on C, siis lõpp-punkt on koordinaatidega
(; ).

$\vec{B A} + \vec{C D} = (;)$

Kui summavektori alguspunkt on B, siis lõpp-punkt on koordinaatidega
(; ).
Kui summavektori alguspunkt on C, siis lõpp-punkt on koordinaatidega
(; ).

Seotud sisu

Kolmnurga reegel

Vaatleme nüüd mis tahes kahe vektori $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ summat. Ka sel juhul alustame liikumist esimese vektori suunas kuni selle lõpuni ja jätkame sealt teise vektori suunas selle pikkuse võrra.

Vektori $\vec{a}$ abil liigume punktist A punkti B ja jätkame sealt liikumist vektori $\vec{b}$ suunas punktini C. Seega, summaarne nihe, mis vastab vektorite summale, on punktist A punkti C. Järelikult on vektor $\vec{A C} = \vec{c}$ vektorite summa.

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{c}$

Vektorite liitmise kolmnurga reegel

Märka

Vektorite summa ei muutu, kui liidetavate järjekorda vahetada. Vektori $\vec{b}$ suunas jõuame punktist A punkti D ja sealt vektori $\vec{a}$ suunas punkti C. Tulemuseks on sama vektor

$\vec{A C} = \vec{c} .$

Kolmnurgareegel

Kahe vektori liitmiseks rakendame teise vektori alguspunkti esimese lõpp-punkti ning võtame summaarseks vektoriks esimese vektori alguspunktist teise vektori lõpp-punkti viiva vektori.

Selgitused

Leiame summaarse vektori koordinaadid. Olgu liidetavate vektorite koordinaadid
$\vec{a}$ =(a₁; a₂) ja $\vec{b}$ =(b₁; b₂).

\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{c}

Vektorite koordinaadid avalduvad punktide koordinaatide kaudu.

a₁ = x₂ – x₁

a₂ = y₂ – y₁

b₁ = x₃ – x₂

b₂ = y₃ – y₂

Kui liikuda vektori $\vec{a}$ suunas ja siis vektori b suunas, on muutuja x summaarne muut

x₂ – x₁ + x₃ – x₂ = x₃ – x₁.

Analoogselt on muutuja y summaarne muut

y₂ – y₁ + y₃ – y₂ = y₃ – y₁.

Saadud muudud ongi vektori $\vec{c}$ koordinaadid, järelikult

$\vec{c}$ = (x₃ – x₁; y₃ – y₁) = (a₁ + b₁; a₂ + b₂) = $\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{u} + \vec{v} =$ (;)

$\vec{v} + \vec{u} =$ (;)

$\vec{a} + \vec{w} =$ (;)

$- (\vec{a} + \vec{w}) =$ (;)

Vektorite summa koordinaadid võrduvad liidetavate vektorite vastavate koordinaatide summaga.

Seotud sisu

Hulknurgareegel

Kolmnurga reeglit saab üldistada rohkem kui kahe vektori geomeetriliseks liitmiseks. Tulemuseks on hulknurgareegel.

On vaja liita kolm või rohkem vektorit. Rakendame teise vektori alguse esimese vektori lõppu, kolmanda vektori alguse teise vektori lõppu jne. Vektorite summaks on vektor, mis viib esimese vektori alguspunktist viimase vektori lõpp-punkti.

Näide 2

Liigutades vektoreid liugurite abil veendu, et sõltumata liidetavate järjekorrast on summavektor sama.

Märka

Kui pärast vektorite paigutamist vastavalt hulknurgareeglile langeb viimase vektori lõpp-punkt kokku esimese vektori alguspunktiga, siis on kõigi vektorite summaks nullvektor, st vektorite summa on null.

$\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ + $\vec{d}$ + $\vec{e}$ = $\vec{0}$

Mitme vektori liitmine

Summavektor on $\vec{}$ .

Olgu liidetavate vektorite koordinaadid järgmised:

(–2; 4), (0; –6), (3; –1), (4; 3).

Summavektori koordinaadid on $\vec{}$ = (; ).

Seotud sisu

Rööpkülikureegel

Et nelinurga ABCD vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed, siis on tegemist rööpkülikuga. Siit tuleneb vektorite liitmise rööpkülikureegel.

Vektorite liitmise rööpkülikureegel

Kahe vektori liitmiseks rakendame nende algused samasse punkti ja moodustame rööpküliku, mille külgedeks on need vektorid. Summaks on vektor, mis väljub ühisest algpunktist, paikneb rööpküliku diagonaalil ja on sama pikk kui diagonaal.