Что такое расстояние от точки до прямой? Каким свойством обладает каждая точка биссектрисы угла? Где расположены все точки, равноудаленные от сторон угла? Как построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки? Вспомни также, как вычисляется площадь треугольника.
Выясним теперь, существует ли окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Для ответа на этот вопрос нужно найти точку, равноудаленную от всех сторон треугольника. Найди эту точку самостоятельно, выполнив приведенное ниже задание.
- Начерти произвольный треугольник и проведи в нем биссектрису t одного из углов (рис. А). Каждая точка этой биссектрисы равноудалена от сторон данного угла. Почему?
 Рис. А | ||||||||
- Начерти биссектрису s другого угла треугольника (рис. Б). Из точки пересечения двух биссектрис проведи перпендикуляры ко всем сторонам треугольника. Сравни между собой расстояния от этой точки до сторон треугольника. Эти расстояния равны. Почему?
 Рис. Б | ||||||||
- Проведи теперь биссектрису третьего угла треугольника. Почему она проходит через точку О пересечения двух других биссектрис?
Выполнив задание, ты можешь заключить, что
биссектрисы всех углов треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника.
Отсюда следует, что если установить ножку циркуля в эту точку, то можно провести окружность, касающуюся всех сторон треугольника (рис. В). Ее называют окружностью, вписанной в треугольник.
 Рис. В | ||||||||
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис всех углов треугольника.
Если в треугольник вписана окружность, то стороны этого треугольника лежат на касательных к этой окружности. Про такой треугольник, в свою очередь, можно сказать, что этот треугольник описан около окружности.
Обозначим буквой r радиус вписанной в треугольник окружности. Заметим, что площадь треугольника выражается так:
S = = = ,
где P – периметр треугольника (рис. Г).
Таким образом,
площадь треугольника равна половине произведения периметра треугольника на радиус вписанной в треугольник окружности.
Упражнения A
 |
||||||||
1017. Окружность, вписанная в треугольник
Начерти произвольный:
- остроугольный треугольник;
- прямоугольный треугольник;
- тупоугольный треугольник.
Для каждого из этих треугольников найди центр вписанной в него окружности и начерти эту окружность.
1018. GeoGebra
Начерти с помощью программы GeoGebra окружность, вписанную в треугольник.
Для этого начерти остроугольный треугольник и проведи в нем биссектрисы углов. Ты увидишь, что все они пересекаются в одной точке D.
Чтобы найти радиус вписанной окружности, проведи из точки D прямую, перпендикулярную одной из сторон треугольника, например, стороне АВ. Найди точку Е пересечения этой прямой со стороной АВ.
 «Пересечение двух объектов» | |||||
Вписанную в треугольник окружность ты получишь, если проведешь окружность с центром в точке D и радиусом DE. Найди также другие общие точки F и G треугольника и окружности с помощью инструмента «Пересечение двух объектов». Измерь радиус вписанной окружности.
- У треугольника существует только одна вписанная в него окружность.
- Центр окружности, вписанной в треугольник, может лежать на одной из сторон треугольника.
- Центр окружности, вписанной в треугольник, может лежать вне этого треугольника.
- Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на одном и том же расстоянии от сторон треугольника.
- Центр окружности, вписанной в треугольник, равноудален от вершин треугольника.
- Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Упражнения Б
 |
||||||||
- периметр треугольника;
Ответ: P = см - длину вписанной в треугольник окружности;
Ответ: C = см - площадь треугольника;
Ответ: S = см2 - площадь вписанного в треугольник круга;
Ответ: S = см2 - сколько процентов составляет длина вписанной окружности от периметра треугольника;
Ответ: длина вписанной окружности составляет % от периметра треугольника. - на сколько процентов площадь треугольника больше площади вписанного круга.
Ответ: площадь треугольника на % больше площади вписанного круга.
1024.* Окружность, вписанная в треугольник
Построй треугольник, у которого одна сторона равна 3 см, прилежащий к ней угол равен 45° и радиус вписанной в треугольник окружности равен 1 см.
