Juhuslik suurus

Vaatleme katset, mida saab korrata kui tahes palju kordi, kus­juures iga katse tulemuseks on mingi arv (n erineva võimaliku arvu seast). Näiteks täringu viskamisel on võimalikeks tulemusteks silmade arvud. Katse­tulemusi saame vaadelda ka ühe muutuja X võimalike väärtustena x1, x2, …, xn. Et juhus määrab, milline väärtus parajasti esile tuleb, nimetatakse muutujat X juhuslikuks suuruseks.

Juhusliku suuruse iga võimalik väärtus on oma­korda vaadeldav juhusliku sündmusena. Juhuslikuks sündmuseks võivad aga olla ka juhusliku suuruse X nende väärtuste esile­tulekud, mis rahuldavad tingimust a < X < b või X < c jne.

Näide 1.

Olgu katseks täringu­vise. Katse võimalikeks tulemusteks on 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Need on juhusliku suuruse X (täringul tulnud silmade arv) väärtused: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5, x6 = 6, millest igat võib vaadelda juhusliku sündmusena: E1 ühe silma tulek, E2 kahe silma tulek jne. Loeme sündmuseks A aga silmade arvu X ≤ 4 tulekut.

Näide 2.

Olgu juhuslikuks suuruseks X kahe täringu korraga viskamisel tulev silmade summa. Suuruse X võimalikud väärtused on arvud 2, 3, 4, …, 12.

Juhusliku suuruse X iga väärtuse xi korral on võimalik leida selle esinemise tõenäosus pi, sest väärtuse xi tulek on teatud juhuslik sündmus. Tulemused võime põhi­mõtteliselt esitada arvu­paaridena (xi; pi), tabelina, graafikuna ja ka valemina. Need on aga funktsiooni võimalikud esitus­viisid. See­tõttu öeldaksegi, et vastavuse juhusliku suuruse X võimalike väärtuste ja tõenäosuste vahel korraldab tõenäosus­funktsioon. Definitsioonina:

juhusliku suuruse X tõenäosus­funktsiooniks nimetatakse ees­kirja, mis seab juhusliku suuruse X igale võimalikule väärtusele xi vastavusse selle väärtuse esile­tuleku tõenäosuse pi (ehk P(xi)).

Kui juhusliku suuruse tõenäosus­funktsioon on leitud, öeldakse ka, et leitud on juhusliku suuruse jaotus.

Järgmise kahe tabeli esimese ja teise reaga on esitatud näidetes 1 ja 2 kirjeldatud juhuslike suuruste jaotused. Vastavad graafilised esitused on joonistel 1.29 ja 1.30.

Joon. 1.29
Joon. 1.30

Kui on antud juhusliku suuruse jaotus, s.t arvu­paarid (xipi), kus i = 1, 2, .., n, siis kehtib tõenäosus­funktsiooni põhiomadus

p1p2 + … + pn = 1,

sest igal katsel mingi väärtus xi kõik­võimalike väärtuste x1, x2,…, xn seast ikka esile tuleb (vastavate sündmuste summa on ju kindel sündmus).

Juhusliku suuruse X jaotus esitatakse sageli ka funktsiooniga P(X ≤ x), mida nimetatakse tõenäosuse jaotus­funktsiooniks. See funktsioon seab suuruse X igale väärtusele xi vastavusse tõenäosuse P(X ≤ xi), s.t tõenäosuse, et juhusliku suuruse X väärtus ei ole suurem kui xi.

Näidetele 1 ja 2 vastavad jaotus­funktsioonid on esitatud eelmiste tabelite esimese ja kolmanda reaga. Näite 1 korral on tõenäosuse jaotus­funktsiooni graafik joonisel 1.31.

Joon. 1.31

Lahendame tõenäosus­funktsiooni ja jaotus­funktsiooni kohta täringu­visete korral mõned ülesanded.

Näide 3.

Leiame tõenäosuse, et täringu viskamisel tuleb kas 1, 4 või 6 silma:

P (kas 1 või 4 või 6) = P(1) + P(4) + P(6)\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Näide 4.

Leiame tõenäosuse, et visates korraga kaht täringut tuleb 1) mitte rohkem kui 5 silma, 2) mitte vähem kui 5 silma, kuid mitte rohkem kui 8 silma.

  1. Leiame vastuse nii a) tõenäosus­funktsiooni P(x) kui ka b) jaotus­funktsiooni P(X ≤ x) tabeli abil:
    1. P(X ≤ 5) = P(kas 2, 3, 4 või 5) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} ≈ 0,28;
    2. P(X ≤ 5) = \frac{10}{36}≈ 0,28.
  2. P(5 ≤ X ≤ 8)P(5) + P(6) + P(7) + P(8)\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} ≈ 0,56 või P(5 ≤ X ≤ 8)P(4 < X ≤ 8) = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 4)\frac{26}{36}-\frac{6}{36} = \frac{20}{36} ≈ 0,56.

Käes­oleva teema pea­tükides 1.10–1.12 vaatlesime statistilise kogumi uurimist mingi arv­tunnuse seisu­kohalt. Seal esinenud arv­tunnus on sisuliselt juhuslik suurus, mis on määratud jaotus­tabeliga, kus iga väärtuse tõenäosuseks on tema suhteline sagedus. Tunnuse (kui juhusliku suuruse) jaotus saadi katsete ja vaatluste teel, s.t empiiriliselt; käes­olevas pea­tükis vaadeldud juhuslike suuruste (näide 1 ja 2) jaotuse saime teoreetilise kaalutluse abil. Juhuslikke suurusi (ja nende jaotusi) võib defineerida ka teoreetiliselt ning vaadelda neid siis kui mudeleid teatud empiirilistele jaotustele. Nii võib näidete 1 ja 2 andmetel esitatud juhuslike suuruste jaotusi vaadelda kui teoreetilisi mudeleid vastavatele täringu­visete tegelikele katsetele.

Ülesanded A

Ülesanne 196. Kahe­teist­tahuline täring
Joon. 1.32

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

P(X)

Ülesanne 197. Kahe­teist­tahuline täring

P(X)

paarisarv silmi?

algarv silmi?

7 kuni 10 silma?

vähemalt 9 silma?

Ülesanne 198. Loterii

Vastus. Tõenäosus võita on . Tõenäosus võita ühe piletiga 1 euro või rohkem on .

Ülesanne 199. Täringu viskamine

Ülesanne 200. Raha jagamine

Ülesanne 201. Õnne­ratas

Vastus. 1) ; 2) .