Sündmuse klassikaline tõenäosus

Juhuslikku, kindlat ja võimatut sündmust on võimalik järjestada nende toimumise sageduse järgi: võimatu sündmus ei toimu kunagi, juhuslikud sündmused toimuvad vahel, kindel sündmus toimub aga alati. Samas on selge, et juhuslikest sündmustest mõni toimub sagedamini kui mõni teine. Näiteks kahega jaguv silmade arv esineb täringu visetel sagedamini kui viiega jaguv silmade arv, sest esimesel juhul on kõigi võimaluste seas soodsaid võimalusi kolm (2, 4 või 6 silma), teisel juhul aga üks (5 silma). Üldiselt määratakse sündmuse toimumise kindluse astet (toimumise sagedust) tõenäosusega. Mida suurem on sündmuse toimumise tõenäosus, seda kindlam on, et sündmus toimub.

Meenutame, mis oli sündmuse (klassikaline) tõenäosus:

sündmuse A tõenäosuseks P(A) nimetatakse sündmusele A soodsate võimaluste arvu k ja kõigi võimaluste arvu n suhet kn.

Sündmuse tõenäosust tähistatakse tähega p või sümboliga P(A).

Rõhutame: selle definitsiooni korral eeldatakse kõigi elementaar­sündmuste

  1. arvu (n) lõplikkust,
  2. välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaar­sündmus),
  3. võrd­võimalikkust.

Näide 1.

Leiame 1) paaris­arvu silmade tuleku (sündmus A) ja 2) viiega jaguva silmade arvu tuleku (sündmus B) tõenäosuse täringu viskamisel.

  1. Kõiki võimalusi on 6, neist sündmusele A soodsaid 3.
    ​Seega tõenäosus P\left(A\right)=\frac{3}{6}=0,5.
  2. Kõiki võimalusi on ikka 6, neist sündmusele B soodsaid 1.
    ​Järelikult P\left(B\right)=\frac{1}{6}\approx0,17.​

Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused:

1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Et P\left(A\right)=\frac{k}{n} ja 0 ≤ k ≤ n, siis tõepoolest 0\le\frac{k}{n}\le1.

2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, s.t P(U) = 1 .

Et nüüd on k = n, siis P\left(U\right)=\frac{n}{n}=1.

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, s.t P(V) = 0 .

Et nüüd on k = 0, siis P\left(V\right)=\frac{0}{n}=0.

4. Sündmuse A ja tema vastand­sündmuse A¯ tõenäosuste summa on 1,
​s.t P(A)+P(A¯)=1.

Tõe­poolest, kui P\left(A\right)=\frac{k}{n}, siis P\left(\overline{A}\right)=\frac{n-k}{n} ja P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=1.

Näide 2.

Eelmises näites leidsime paaris­arvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastand­sündmus \overline{A}, siis selle tõenäosus

P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,5=0,5.

Tõenäosuste arvutamisel tuleb sageli leida sündmuse soodsate võimaluste arv ja kõikide võimaluste arv kombinatoorika valemeid või lauseid kasutades.

Näide 3.

Urnis on 8 valget ja 12 musta kuuli. Segame kuulid ning võtame juhuslikult 4 kuuli. Leiame tõenäosuse, et 1) need on valged, 2) nende seas on vähemalt 2 valget kuuli.

  1. Kõigi võrdvõimalike juhtude arv n=C_{20}^4=4845, sest kuulide järjestus ei ole oluline. Soodsate juhtude arv k nelja valge kuuli saamiseks on C_8^4=70. Seega tõenäosus p = 70 : 4845 = 0,014. See sündmus esineb suhteliselt harva.
  2. Kõigi võimaluste arv n on endiselt 4845. Soodsad variandid on: 2 valget ja 2 musta; 3 valget ja 1 must; 4 valget kuuli. Leides iga variandi võimaluste arvu kombinatoorika korrutamis­lausega, tuleb kogu soodsate võimaluste arv leida liitmis­lausega: k=C_8^2\cdot C_{12}^2+C_8^3\cdot C_{12}^1+C_8^4=2590. Seega on p=\frac{2590}{4845}\approx0,535. Et tõenäosus on üle poole, siis kindlam on, et see sündmus toimub, kui ei toimu.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 78. Täringu viskamine

Vastus. P(algarv) = 

Ülesanne 79. Kaardi tõmbamine pakist
  1. ruutu?

    Vastus. P(A) = 
  2. äss?

    Vastus. P(B) = 
  3. pilt?

    Vastus. P(C) = 
  4. kas äss või poti pilt?

    Vastus. P(D) = 
Ülesanne 80. Õpilase valimine
  1. neiu?

    Vastus. P(A) = 
  2. Eve?

    Vastus. P(B) = 
  3. noor­mees pikkusega üle 180 cm?

    Vastus. P(C) = 
  4. olete Teie?

    Vastus. P(D) = 
Ülesanne 81. Tõenäosuse esitamine protsentides

Ülesanne 82. Mündi viskamine

Vastus. Mündi viskamisel on kirja tulemise tõenäosus .

Ülesanne 83. Kahe mündi viskamine
  1. mõlemal vapp?

    Vastus. P(A) = 
  2. ühel kiri, teisel vapp?

    Vastus. P(B) = 
  3. vähemalt ühel kiri?

    Vastus. P(C) = 
Ülesanne 84. Lume­palli viskamine
Joon 1.5

Vastus. Värvitud pinna tabamise tõenäosus on .

Ülesanne 85. Kuuli võtmine urnist
  1. valge?

    Vastus. P(A) = 
  2. punane?

    Vastus. P(B) = 
  3. sinine?

    Vastus. P(C) =
Ülesanne 86. Kuulide võtmine urnist
  1. valged?

    Vastus. P(V) = 
  2. punased?

    Vastus. P(P) = 
  3. sinised?

    Vastus. P(S) = 
  1. mustad?

    Vastus. P(M) = 
  2. sama­värvilised?

    Vastus. P(S) = 
  3. kõik erinevat värvi?

    Vastus. P(E) = 
Ülesanne 87. Täringu viskamine

Silmade arv

Tõenäosus

Ülesanne 88. Täringute viskamine

Vastus. Neid elementaar­sündmusi on .

  • Koostage saadud tabeli põhjal uus tabel, kuhu on kantud erinevad silmade summad ja neile kui sündmustele vastavad tõenäosused.

  • Millise silmade summa tõenäosus on 1) suurim; 2) vähim?

Vastus. 1) Suurim on p() =  ja
2) vähimad on p() = p() = .

Ülesanne 89. Saksa keele õppimine
  1. õpib saksa keelt?
    Vastus. Tõenäosus, et selle kooli juhuslikult valitud õpilane õpib saksa keelt on .
  2. ei õpi saksa keelt?
    Vastus. Tõenäosus, et selle kooli juhuslikult valitud õpilane ei õpi saksa keelt on .
Ülesanne 90. Tähe­kaartide ladumine
  1. sõna sai?

    Vastus. P(sai) = 
  2. tähendusega sõna?

    Vastus. P(tähendusega sõna) = 
Ülesanne 91. Kuulide võtmine urnist

Vastus. Selle tõenäosus on .

Ülesanne 92. Kuubikese võtmine
  1. kolm tahku värvitud?

    Vastus. P(A) = 
  2. ainult üks tahk värvitud?

    Vastus. P(B) = 
Ülesanne 93. Sokkide võtmine
  1. neist saab vähemalt paari ühe­suguseid sokke?
    Vastus. Võtta tuleb vähemalt  sokki.
  2. nende seas oleks vähemalt üks paar halle sokke?
    Vastus. Võtta tuleb vähemalt  sokki.

Kui suur on tõenäosus, et kahe soki juhuslikul võtmisel saame ühe­sugused sokid?

Vastus. Kahe soki juhuslikul valimisel ühe­suguste sokkide saamise tõenäosus on .

Ülesanne 94. Piletite loosimine

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 95. Võõr­keelte õppimine
  1. nii inglise kui ka saksa keelt?

    Vastus. P(A) = 
  2. inglise keelt, kuid ei õpi saksa keelt?

    Vastus. P(B) = 
Ülesanne 96. Kommide võtmine
  1. Natali?

    Vastus. P(Natali) = 
  2. Aneta?

    Vastus. P(Aneta) = 

Kumma suhtes on 20 kommi jaotamine eba­õiglane, kui üle­jäänud 16 kommi pidi jaotatama võrdselt?

Vastus. Selline jaotamine on eba­õiglane  suhtes.

Ülesanne 97. Sedelite võtmine

Vastus. P(A) = 

  • Mitu sedelit võib laual maksimaalselt olla, et järjestikuste tähtede saamise tõenäosus oleks
    1. 1?
      Vastus. n = 
    2. vähemalt pool?
      Vastus.  ≤ n ≤ 
  • Kui suur on järjestikuste tähtede saamise tõenäosus siis, kui laual on sedelid kõigi eesti tähestiku tähtedega?

    Vastus. P(B) = 
Ülesanne 98. Naturaal­arvude võtmine

Vastus. P(A) = 

  • Milline oleks tõenäosus, kui kolm arvu võetakse juhuslikult n esimese naturaalarvu seast?

    Vastus. P(B) = 
  • Leidke tõenäosused siis, kui n esimese naturaal­arvu seast võetakse juhuslikult
    1. 2 arvu,

      Vastus. P(C) = 
    2. 4 arvu.

      Vastus. P(D) = 
  • Leidnud vastustes seadus­pärasused, kirjutage tõenäosuse arvutamise avaldis juhuks, kui n esimese naturaal­arvu seast tuleb võtta juhuslikult m naturaal­arvu (m ≤ n).
    Vastus. P(M) = 
Seotud sisu
Muud tegevused