Tuletame meelde, mis on liitfunktsioon.
Näide 1.
Kui
Üldjuhul: kui y = f (u) ja u = g (x), siis y = f [g (x)]. Muutujat u nimetatakse teatavasti vahepealseks muutujaks, funktsioone y = f (u) ja u = g (x) aga vastavalt välimiseks ning sisemiseks funktsiooniks. Nii on näites 1 välimiseks funktsiooniks
Näide 2.
Esitame järgnevad funktsioonid vahepealse muutuja kaudu:
1)
1)
2)
2)
3)
3)
Leiame liitfunktsiooni y = f [g (x)] tuletise. Olgu funktsioonid y = f (u) ja u = g (x) diferentseeruvad, s.t
ja
Eelnevast järeldub, et
Δy = f '(u)g '(x)Δx + f '(u)βΔx + αΔu.
Jagades saadud võrduse mõlemad pooled suurusega Δx, jõuame seoseni
Et Δx → 0 korral ka Δu → 0 ning α ja β on hääbuvad suurused vastavalt Δu ja Δx lähenemisel nullile, siis
Seega
kui y = f [g (x)] ehk y = f (u) ja u = g (x), siis y '(x) = f ′(u) · g ′(x), kus u = g (x);
teisiti, y' = f '[g(x)] · g '(x).
Sõnastatult:
liitfunktsiooni tuletis on võrdne välimise funktsiooni tuletisega sisemise funktsiooni kohal, mis on korrutatud sisemise funktsiooni tuletisega kohal x.
Näide 3.
Leiame funktsiooni 1)
Rakendame liitfunktsiooni diferentseerimise reeglit:
y'\left(x\right) =\left(\sqrt{u}\right)^'\cdot\left(x^2+1\right)^' =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(2x\right) =\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} ;- kui
y=u^2 jau=3x^2-4 , siisy'\left(x\right) =\left(u^2\right)^'\cdot\left(3x^2-4\right)^' =2u\cdot6x =12x\left(3x^2-4\right) =36x^3-48x .
Viimasel juhul oleksime võinud avada funktsiooni avaldises sulud ja diferentseerida siis summat liikmeti.
Liitfunktsiooni korral võib vahepealseid muutujaid olla rohkem kui üks.
Näide 4.
Kirjutame funktsiooni
Näide 5.
Leiame eelmises näites esitatud funktsiooni tuletise.
Et me liitfunktsiooni diferentseerimise reeglit kahe vahepealse muutuja korral
ei tea, toimime järgmiselt. Kirjutame funktsiooni
Nüüd
Leidmata on uue liitfunktsiooni
Et
siis