Astme­funktsioonid

2.* FUNKTSIOON y = x⁴

Teame, et iga arvu ruut, samuti ka neljas aste on mitte­negatiivne arv. Järelikult puudub funktsioonil y = x⁴ negatiivsus­piirkond. Teame ka, et (–x)⁴ = x⁴. See tähendab, et funktsiooni väärtused kohtadel x ja –x on võrdsed. Funktsiooni y = x⁴ graafikut (joonis 2.44a) nimetatakse neljanda astme parabooliks. Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. Sama­sugused omadused on ka funktsioonil y = x². Joonisel 2.44b on kujutatud funktsioonide y = x² ja y = x⁴ graafikud koos.

3.* FUNKTSIOON y = x²ⁿ, n ∈ Z⁺

Need on astme­funktsioonid, mille astendaja on positiivne paaris­arv a = 2n. Et alati (+x)²ⁿ = (–x)²ⁿ, siis on vaadeldavate funktsioonide graafikud sümmeetrilised y-telje suhtes. Kõigil funktsioonidel y = x²ⁿ, n ∈ Z⁺ on järgmised ühised omadused (joonis 2.45a):

4.* FUNKTSIOON y = x²ⁿ⁺¹, n ∈ Z+

Need on astme­funktsioonid, kus astendaja on positiivne paaritu arv 3, 5, 7, … . Alati kehtib valem (–x)²ⁿ⁺¹ = –x²ⁿ⁺¹ ning seega vaadeldava funktsiooni väärtused kohtadel x ja –x erinevad ainult märgi poolest. Funktsiooni y = x²ⁿ⁺¹, n ∈ Z⁺ omadused on järgmised (joonis 2.45b):

1. FUNKTSIOON $$ \mathit{y}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{2}}$$ ehk $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}}$$

Funktsiooni avaldisest on näha, et tal on vaid positiivsed väärtused. Seega Y = (0; ∞) ja X⁺ = X. Et f (–x) = f (x), siis on graafik sümmeetriline y-telje suhtes. Kui x väärtused lähenevad nullile, siis funktsiooni väärtused lähenevad lõpmatusele (sümbolites: x\to0, siis \frac{1}{x^2}\to∞). Kui x\to∞ või x\to-∞, siis \frac{1}{x^2}\to0. Graafik on esitatud joonisel 2.47a.

2.* FUNKTSIOON $$ \mathit{y}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{-}\mathbf{3}}$$ ehk $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}}$$

Vaadeldaval funktsioonil on negatiivsed väärtused, kui x on negatiivne, ja positiivsed väärtused, kui x on positiivne. Funktsiooni väärtused kohtadel x ja –x erinevad märgi poolest ning on absoluut­väärtuselt võrdsed. Kui x\to0 ja x > 0, siis \frac{1}{x^3}\to∞. Kui x\to0 ja x < 0, siis \frac{1}{x^3}\to-∞. Kui x\to∞ või x\to-∞, siis \frac{1}{x^3}\to0. Funktsiooni graafik on esitatud joonisel 2.47b.