Обобщенная теорема Фалеса

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Стороны u и v угла uOv можно пересечь любым числом параллельных прямых. Для простоты рассмотрим только две параллельные прямые s и t, пересекающие стороны угла в точках A и B, а также C и D.

На стороне u данного угла образуются отрезки OA, OC и AC, а на стороне v – соответственно OB, OD и BD.

Доказательство этой теоремы довольно сложно. Поэтому проверим справедливость теоремы только путем измерений и вычислений. Для этого возьми измерительную линейку и как можно точнее, с точностью до миллиметра, измерь на рисунке учебника длины отрезков, отсеченных на сторонах угла. Затем вычисли с помощью калькулятора отношения соответственных отрезков: $\frac{O A}{O B}$ , $\frac{O C}{O D}$ , и $\frac{A C}{B D}$ .

Что тебе удалось подметить? Если твои измерения и вычисления сделаны точно, то оказывается, что все эти отношения равны между собой. Случаен ли такой результат? Конечно, нет, и ответ на этот вопрос дает сформулированная выше теорема. Как мы знаем, в случае равенства отношений отрезков говорят, что эти отрезки пропорциональны (см. § 5.2). Именно это и утверждает обобщенная теорема Фалеса.

Для большей ясности запиши результаты своих вычислений в виде пропорций, которые отражают также и точность твоей работы.

$\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D} = \frac{A C}{B D}$

С помощью теоремы Фалеса можно доказать, что $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D} = \frac{A B}{C D}$ , где отрезки являются сторонами треугольников OAB и OCD.

при пересечении сторон угла параллельными прямыми образуются треугольники с пропорциональными сторонами.

Убедись в справедливости утверждения с помощью измерений.

Треугольники с соответственно пропорциональными сторонами называются подобными треугольниками. Подобные треугольники имеют «одинаковую форму», но могут иметь разную величину. Такие треугольники мы рассмотрим в следующем параграфе.

Эти дорожные знаки подобны по форме.

Еще на эту тему

Упражнения A

Из теоремы Фалеса следует, например, что имеет место пропорция $\frac{K M}{L N} = \frac{O K}{O L}$ . Запиши при помощи этого рисунка не менее пяти различных пропорций.

, , , ,

800. GeoGebra

Проверь справедливость обобщенной теоремы Фалеса с помощью программы GeoGebra. Начерти лучи AB и AC, а также прямую BC. Затем отметь на одной стороне угла точку D. Проведи через эту точку прямую, параллельную прямой BC, и найди точку пересечения полученной прямой с другой стороной угла (точку E).

Для нахождения отношений отрезков нужно воспользоваться строкой ввода. Например, чтобы найти отношение длин отрезков AB и AC, нужно ввести в эту строку AB / AC. Полученное отношение появится на панели объектов (число e).Проверь таким же способом все три отношения. Убедись, что эти отношения не изменяются при изменении длин отрезков или их расположения.

801. GeoGebra

Воспользовавшись чертежом из предыдущего задания, проверь справедливость следствия из теоремы Фалеса для треугольников на рисунке. Отношения каких отрезков можно еще найти? Убедись, что и все эти отношения равны между собой.

Ответ: длина требующего ремонта отрезка дороги равна км.

$\frac{O C}{O F} = \frac{O A}{O D}$
$\frac{B C}{E F} = \frac{A B}{D E}$
$\frac{O A}{O E} = \frac{A B}{O D}$
$\frac{A B}{D E} = \frac{O A}{O D}$

$\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$
$\frac{O A}{O D} = \frac{E F}{B C}$
$\frac{O A}{A B} = \frac{O D}{D E}$
$\frac{D F}{A C} = \frac{D E}{A B}$

$\frac{C F}{B E} = \frac{C O}{B O}$
$\frac{A D}{B E} = \frac{A O}{B O}$
$\frac{B E}{B O} = \frac{C F}{C O}$
$\frac{B E}{A D} = \frac{A B}{D E}$

x =

y =

x =

y =

x =

y =

x =

y =

AB, если DE = 5 см, BC = 6 см и EF = 3 см.

AB = см
OD, если OA = 8 см, BC = 12 см и EF = 3 см.

OD = см

DE, если OA = 3 см, AB = 9 см и OE = 16 см.

DE = см
OC, если OF = 8 см, AB = 8 см и DE = 4 см.

OC = см

CF, если BE = 2 см, BO = 4 см и CO = 6 см.

CF = см
AD, если BE = 4 см, AO = 3 см и AB = 3 см.

AD = см

AO, если AD = 3 см, BE = 9 см и OB = 12 см.

AO = см
CO, если BE = 5 см, CF = 8 см и OB = 6 см.

CO = см

$s ∥ t$
$s ∦ t$

$s ∥ t$
$s ∦ t$

$s ∥ t$
$s ∦ t$

$s ∥ t$
$s ∦ t$

Еще на эту тему

Упражнения Б

AC = 10 см, DC = 5 см, BC = 12 см и CE = 6 см.

Ответ: DE AB

AC = 12 см, AD = 5 см, BC = 10 см и CE = 6 см.

Ответ: DE AB

CD = 4 см, CE = 6 см, AD = 6 см и BE = 9 см.

Ответ: DE AB

DC = 2 см, AC = 3 см, BC = 4 см и BE = 2 см.

Ответ: DE AB

Ответ: OA = см, AC = см.

Ответ: OB = см, BD = см.

Ответ: OA = см, AC = см.

Ответ: OA = см, OB = см.

x =

y =

x =

y =

x =

y =

x =

y =

Ответ: BD = см, DF = см, DL = см.

Ответ: BE = см.

Не производя вычислений, построй такой четвертый отрезок х, что

\frac{a}{b} = \frac{c}{x}

. Измерь его длину и проверь вычислением точность своего построения.

Ответ: на моем рисунке длина отрезка равна см, при вычислении получил, что эта длина равна см. Оценка точности моей работы:

Указание

Воспользуйся обобщенной теоремой Фалеса. Начерти некоторый угол О. Отметь на одной его стороне отрезки ОА = а и АВ = с, а на другой стороне – отрезок ОС = b. Проведи через точки А и С прямую s, а через точку В прямую t таким образом, что

s ∥ t

. Теперь на чертеже можно найти и отрезок х.

По данным предыдущей задачи построй такой отрезок х, что $\frac{c}{b} = \frac{a}{x}$ . Измерь отрезок х и проверь точность построения с помощью вычислений.

Ответ: длина отрезка на моем чертеже равна см, при вычислении получаю, что длина отрезка должна быть см. Оценка точности моей работы:

По данным предыдущей задачи построй такой отрезок х, что

\frac{a}{b} = \frac{x}{c}

. Измерь отрезок х и проверь точность построения с помощью вычислений.

Ответ: длина отрезка на моем чертеже равна см, при вычислении получается, что длина должна быть см. Оценка точности моей работы:

Начерти отрезок

x = \frac{a b}{c}

Ответ: x ≈ мм.

Указание

Составь для построения отрезка подходящую пропорцию. Например, если

x = \frac{a b}{c}

, то

c x = a b

\frac{c}{a} = \frac{b}{x}

Начерти отрезок $y = \frac{b c}{a}$ .

Ответ: y ≈ мм.

Указание

Составь для построения отрезка подходящую пропорцию. Например, если

x = \frac{a b}{c}

, то

c x = a b

\frac{c}{a} = \frac{b}{x}

Начерти отрезок $z = \frac{a c}{b}$ .

Ответ: z ≈ мм.

Указание

Составь для построения отрезка подходящую пропорцию. Например, если

x = \frac{a b}{c}

, то

c x = a b

\frac{c}{a} = \frac{b}{x}

816. Обобщенная теорема Фалеса

Начерти отрезок длиной 6 см и раздели его на 7 равных частей. Воспользуйся результатом, полученным в предыдущей задаче.

Еще на эту тему

Количество баллов Opiq

	Работы
	Параграф проработан

Обобщенная теорема Фалеса

Еще на эту тему

Упражнения A

800. GeoGebra

801. GeoGebra

Еще на эту тему

Упражнения Б

Указание

Указание

Указание

Указание

816. Обобщенная теорема Фалеса

Еще на эту тему

Добавить материал

Загружаемые файлы

Сообщить об ошибке

Сюда пишите только об ошибках Opiq. Пожалуйста, опишите ошибку как можно детальнее.

Если вы согласны поделиться информацией о себе, сообщите свои контактные данные (e-mail, телефон).

Поставьте галочку, чтобы помочь нам бороться со спамом

Opiq использует файлы cookie