Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Nagu veendusime, on tülikas leida funktsiooni piirväärtust definitsiooni abil. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ja teatud praktilisi võtteid.

1. Varem selgitasime, et kui funktsioon on kohal a pidev, siis $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . See võrdus võimaldab leida väga lihtsalt funktsiooni piirväärtust kohal a, kui a ∈ X.

Näide 1.

Leiame $lim_{x \to 2} (5 x^{2} - 4 x + 1)$ .

Et funktsiooni y = 5x² – 4x + 1 graafik on pidev joon – parabool, siis on funktsioon pidev ka kohal 2 ning

$lim_{x \to 2} (5 x^{2} - 4 x + 1)$ = 5 ⋅ 2² – 4 ⋅ 2 + 1 = 20 – 8 + 1 = 13.

2. Mõningaid piirväärtusi saame leida loogilise arutelu teel. Näiteks

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty$ ,

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

Tõepoolest, kui murru \frac{1}{x^2} nimetaja läheneb nullile, näiteks x väärtused on 1; 0,1; 0,01; 0,001; …, siis murru \frac{1}{x^2} väärtused kasvavad üle igasuguse tõkke (s.t kuitahes suureks): 1; 100; 10 000; 1 000 000; … .Kui aga murru \frac{1}{x} nimetaja kasvab tõkestamatult, näiteks x saab väärtusi 1, 1000, 1 000 000, 1 000 000 000, …, siis murru väärtused lähenevad nullile: 1; 0,001; 0,000 001; 0,000 000 001; … .

3. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on sageli kasulik teada piirväärtuse omadusi. Et funktsiooni piirväärtus on defineeritud jada piirväärtuse abil, siis on loomulik, et funktsiooni piirväärtuse omadused on samasugused kui jada piirväärtusel:

1. $lim_{x \to a} c = c$ .

Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused $lim_{x \to a} f (x)$ ja $lim_{x \to a} g (x)$ , siis eksisteerib ka funktsioonide summa, vahe, korrutise, jagatise (nüüd lisaks $lim_{x \to a} g (x) \neq 0$ ) ja arvuga korrutatud funktsiooni piirväärtus ning

2. $lim_{x \to a} [f (x) + g (x)] = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x)$ ,

3. $lim_{x \to a} [f (x) - g (x)] = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x)$ ,

4. $lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)] = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x)$ ,

5. $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)}$ ,

6. $lim_{x \to a} [c \cdot f (x)] = c \cdot lim_{x \to a} f (x)$ .

Need omadused kehtivad ka siis, kui x → ∞ või x → –∞.

Näide 2.

Leiame $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \tan x}{x - 3}$ .

Rakendame funktsiooni piirväärtuse omadusi:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \tan x}{x - 3}$ = $\frac{\lim_{x \to 0} (\cos x + \tan x)}{\lim_{x \to 0} (x - 3)}$ = $\frac{\lim_{x \to 0} \cos x + \lim_{x \to 0} \tan x}{\lim_{x \to 0} x - \lim_{x \to 0} 3}$ = \frac{\cos0+\tan0}{0-3} = \frac{1+0}{-3} = -\frac{1}{3}.

Näide 3. Leiame

\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}

Et $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ , siis $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}$ = $5 \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ = 5 ⋅ 0 = 0.

Esineb olukordi, kus piirväärtuse omadusi ei saa vahetult rakendada. Näiteks piirväärtuse $\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ leidmisel võime saada \frac{0}{0}, kui $\lim_{x \to a} f (x) = 0$ ja $\lim_{x \to a} g (x) = 0$ . Sellist juhtumit \frac{0}{0} nimetatakse määramatuseks, sest esialgu ei ole teada (pole määratud), millega see võrdub. Määramatusi on teisigi, näiteks \frac{∞}{∞}.

4. Määramatus $\frac{0}{0}$ . Sellel juhul tuleb murdu \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} teisendada nii, et murdu saaks taandada teguriga, mis tekitab määramatuse, s.t mis muudab piirprotsessis nii lugeja kui ka nimetaja nulliks. Lühemalt: tuleb püüda vabaneda määramatusest.

Näide 4. Leiame

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}

Kontrollime, kas funktsioon y=\frac{x^2-4}{x+2} on kohal –2 pidev, püüdes leida piirväärtust näite 1 eeskujul: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ = \frac{\left(-2\right)^2-4}{-2+2} = \frac{0}{0}.Tulemuseks saime määramatuse. Järelikult peame funktsiooni avaldist nii teisendama, et vabaneksime määramatusest: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ = $\lim_{x \to - 2} \frac{(x - 2) \overset{1}{(x + 2)}}{\underset{1}{(x + 2)}}$ = $\lim_{x \to - 2} (x - 2)$ = –2 –2 = –4.

Paneme tähele, et x → –2, mistõttu x + 2 ≠ 0 ja taandamine on võimalik.

Näide 5.

Leiame $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ .

Ka siin on tegemist määramatusega:

$\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ = \frac{9-9}{3-3} = \frac{0}{0}.Korrutame murru lugejat ja nimetajat teguriga \sqrt{x}+3. Siis $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ = $\lim_{x \to 9} \frac{(x - 9) (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}$ = $\lim_{x \to 9} \frac{\overset{1}{(x - 9)} (\sqrt{x} + 3)}{\underset{1}{x - 9}}$ = $\lim_{x \to 9} (\sqrt{x} + 3)$ = \sqrt{9}+3 = 6.

5. Määramatus

\frac{\infty}{\infty}

. See määramatus tekib \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} piirväärtuse leidmisel, kui lugeja ja nimetaja piirprotsessis tõkestamatult kasvavad. Kuidas nüüd vabaneda määramatusest, selgub näiteist.

Näide 6. Leiame

\lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{6} - 4 x^{2} + 8}{2 x^{6} + 4 x^{5} - x}

Rakendades piirväärtuse omadusi, jõuame määramatusele \frac{∞}{∞}. Et sellest määramatusest vabaneda, jagame murru lugeja ja nimetaja liikmeti x kõige kõrgema astmega, s.o avaldisega x⁶. See on siin lubatud, sest x ≠ 0, kuna ta kasvab tõkestamatult.Niisiis $\lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{6} - 4 x^{2} + 8}{2 x^{6} + 4 x^{5} - x}$ = $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{6}}{x^{6}} - \frac{4 x^{2}}{x^{6}} + \frac{8}{x^{6}}}{\frac{2 x^{6}}{x^{6}} + \frac{4 x^{5}}{x^{6}} - \frac{x}{x^{6}}}$ = $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{8}{x^{6}}}{2 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{5}}}$ .

Rakendades nüüd piirväärtuse omadusi, saame

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{8}{x^{6}}}{2 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{5}}}$ = $\frac{\lim_{x \to \infty} 5 - \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}{\lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$ = \frac{5-0+0}{2+0-0} = 2,5.Järelikult $\lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{6} - 4 x^{2} + 8}{2 x^{6} + 4 x^{5} - x}$ = 2,5.

Näide 7.

Leiame $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} - 5 x}{x^{3} + 2 x - 1}$ .

Tegemist on määramatusega \frac{∞}{-∞}. Jagame murru lugeja ja nimetaja avaldisega x³ (või x⁴): $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} - 5 x}{x^{3} + 2 x - 1}$ = $\lim_{x \to - \infty} \frac{x - \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}}$ = $\frac{\lim_{x \to - \infty} x - 0}{1 + 0 + 0}$ = -∞.

Ülesanded B

Ülesanne 811. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to 2} 5 x^{3}

\lim_{x \to 0,3} (x^{3} - 2 x - 1)

\lim_{x \to 25} 4 \sqrt{x}

\lim_{x \to - 3} 2^{x}

\lim_{x \to 100} \log x

\lim_{x \to - 1} (2 x^{2} - \frac{1}{x} + 3)

\lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin x

\lim_{x \to - 2, 2} \tan x

≈

\lim_{x \to 0} {0,4}^{x}

\lim_{x \to 0} 7 x^{3}

\lim_{x \to \infty} 3 x

\lim_{x \to 0} (x - 4)

\lim_{x \to - \infty} 8 x

\lim_{x \to 0} \frac{x}{7}

\lim_{x \to - \infty} x^{6}

\lim_{x \to 0} \frac{13}{x^{4}}

Ülesanne 812. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to 1} \frac{x + 5}{x - 2}

\lim_{x \to 2} \frac{x + 5}{{(x - 2)}^{2}}

\lim_{x \to - 5} \frac{x + 5}{x - 2}

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 2}

\lim_{x \to - 3} \frac{x}{x + 8}

\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 + x}

Ülesanne 813. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}

\lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - x}{x}

\lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} - 2 x - 35}{6 (x + 5)}

Ülesanne 814. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}

\lim_{x \to 2} \frac{8 - x^{3}}{3 - \sqrt{x^{3} + 1}}

\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}

Ülesanne 815. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

\lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x}{2 x^{2} - 8 x + 5}

\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{3}}{3 x^{2} - 5}

\lim_{x \to \infty} \frac{12 x^{4} + x + 2}{x^{6} + 3 x^{3}}

\lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} + 6 x}{3 x^{2}}

\lim_{x \to \infty} \frac{16 + x^{3}}{x^{5} - 2 x^{4}}

\lim_{x \to \infty} \frac{27 x^{2} - 11}{6 x^{2} + 5 x}

\lim_{x \to \infty} \frac{- x^{4}}{x^{3} + 10}

\lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{5}}{x^{2} + x^{4}}

\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x + 1000}

Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 811. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 812. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 813. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 814. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 815. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 811. Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 812. Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 813. Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 814. Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

Ülesanne 815. Funktsiooni piir­väärtuse arvutamine

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 811. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 812. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 813. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 814. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine

Ülesanne 815. Funktsiooni piirväärtuse arvutamine