Ekstreemum­ülesanded

Näide 1.

Kaupluse seinale kavatsetakse riputada kolmest servast valgustitega ümbritsetav reklaam­tahvel (joonis 5.35). Pere­mehel on ostetud 4 meetrit valgus­juhet. Milliste mõõtmetega tuleb reklaami alus valmistada, kui tahetakse, et reklaam­tahvli pindala oleks võimalikult suur?

Joon. 5.35

Koostame esmalt valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta soovime leida. Olgu reklaami aluse laius x meetrit, kõrgus on sel juhul 4 – 2x meetrit ja pindala

S\left(x\right)=x\left(4-2x\right)=4x-2x^2.

Leiame nüüd piir­konna, kust ekstreemum­kohti otsida.

Vastavalt ülesande tingimustele on x>0 ja 4-2x>0. Seega x ∈ (0; 2). Väärtused 0 ning 2 ei tule arvesse. Miks?

Funktsiooni ekstreemum­koha leidmiseks arvutame funktsiooni esimese ja teise tuletise ning lahendame võrrandi S\ '\left(x\right)=0:

S\ '\left(x\right)=4-4x ja S\ ''\left(x\right)=-4.

Võrrandist 4-4x=0 saame, et ekstreemum võib olla kohal x=1. Et S\ ''\left(1\right)=-4<0, siis on antud kohal tõesti funktsiooni maksimum.

Lõpuks leiame otsitava rist­küliku teise külje pikkuse: 4 – 2 ⋅ 1 = 2 (m).

Vastus. Reklaami alus tuleks valmistada 1 meetri laiune ja 2 meetri kõrgune.

Näide 2.

Kokku­ostja kavatses turul päevas müüa vähemalt 20 kg kuke­seeni hinnaga 12 eurot kilo­gramm. Sellisel juhul jäänuks talle töö­tasuks 2 eurot iga müüdud kilo­grammi kuke­seente eest. Hiljem arvas ta aga, et iga 10-sendine kilo­hinna alandus tõstab päevast läbi­müüki 2 kilo­grammi võrra. Millise hinnaga tuleks kokku­ostjal kuke­seeni müüa, et selle töö eest saadav tasu oleks maksimaalne? Oletame, et kokku­ostja arvamus läbi­müügi kasvu kohta vastab tõele.

Koostame valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta me hakkame otsima. Leida tuleb seos töö­tasu T (x) ja hinna­alanduse vahel. Olgu hinna­alandus x korda 10 senti, s.o 0,1x eurot. Sellisel juhul jääb müüjale töö­tasuks iga müüdud kilo­grammi eest 2 – 0,1x eurot. Päevane läbi­müük suureneb samas aga 2x kilo­grammi võrra, olles 20 + 2x kilo­grammi.

Sellise läbi­müügi eest saadav tasu T (x) on seega arvutatav valemiga

T\left(x\right)=\left(2-0,1x\right)\left(20+2x\right).

Leiame esmalt piir­konna, kust tuleb ekstreemum­kohta otsida.

Vastavalt ülesande tingimustele saame, et x\ge0 ja 2-0,1x\ge0, millest näeme, et x\in\left[0;\ 20\right].

Seega otsitav on funktsiooni suurim väärtus lõigul \left[0;\ 20\right].

Leiame selleks funktsiooni T (x) kõik võimalikud ekstreemum­kohad.

T\left(x\right)=40+2x-0,2x^2, T\ '\left(x\right)=2-0,4x ja T\ ''\left(x\right)=-0,4.

Võrrandist 2-0,4x=0 saame, et uuritava funktsiooni ekstreemum võib olla kohal x = 5.

Et T\ ''\left(5\right)=-0,4<0, siis on antud kohal funktsiooni maksimum.

Ekstreemumid võivad aga olla veel ka lõigu \left[0;\ 20\right] ots­punktides.

Leiame funktsiooni väärtused kõigis võimalikes ekstreemum­kohtades ja võrdleme neid.

T\left(5\right)=45; T\left(0\right)=40 ja T\left(20\right)=0.

Siit näeme, et funktsioonil T (x) on lõigus [0; 20] maksimum kohal x = 5.

Seega tuleks kuke­seeni müüa hinnaga 12 – 5 ⋅ 0,1 = 11,5 eurot kilo­gramm.

Vastus. Kuke­seeni tuleks müüa hinnaga 11,5 eurot kilo­gramm.

Näide 3.

Koonuse­kujulise pokaali moodustaja on 12 cm (joonis 5.36). Milline peaks olema koonuse põhja diameetri ja kõrguse suhe, et pokaali ruumala oleks maksimaalne?

Joon. 5.36

Koostame valemi funktsioonile, mille ekstreemum­kohta me hakkame otsima. Avaldame selleks koonuse ruumala V (x) tema kõrguse x kaudu.

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot x.

Muutuja r elimineerimiseks saadud võrdusest kasutame seost x^2+r^2=12^2. Et r^2=144-x^2, siis saame

V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi\left(144-x^2\right)\cdot x,
​millest V\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}x-\frac{\pi}{3}x^3.

Leiame piir­konna, kust tuleb ekstreemum­kohta otsida. Ülesande tingimustele vastavalt saame, et x ∈ (0; 12). Argumendi väärtused 0 ja 12 ei tule arvesse. Miks?

Funktsiooni ekstreemum­koha leidmiseks arvutame funktsiooni esimese ja teise tuletise ning lahendame võrrandi V\ '\left(x\right)=0:

V\ '\left(x\right)=\frac{144\pi}{3}-\pi x^2 ja V\ ''\left(x\right)=-2\pi x.

Võrrandist \frac{144\pi}{3}-\pi x^2=0 saame, et vaadeldava funktsiooni ekstreemum võib olla koha x=4\sqrt{3}.

Et V\ ''\left(4\sqrt{3}\right)=-8\pi\sqrt{3}<0, siis ongi antud koht funktsiooni maksimum­koht.

Lõpuks leiame saadud kõrgusele vastava põhja diameetri ja otsitud suhte:

d = 2r = 2\sqrt{144-\left(4\sqrt{3}\right)^2} = 2\sqrt{144-48} = 8\sqrt{6} ja \frac{2r}{x}=\frac{8\sqrt{6}}{4\sqrt{3}}=2\sqrt{2}.

Vastus. Koonuse põhja diameetri ja kõrguse suhe peab olema 2\sqrt{2}.

Näide 4.

Leiame punkti (0; 3) kauguse sirgest y = 2x + 1.

Punkti kauguse all sirgest mõistetakse lühimat võimalikku kaugust vaadeldava punkti ja sirgel asuva punkti vahel. Seega tuleb meil leida sirgel selline punkt A(x; y), mille kaugus punktist B(0; 3) on minimaalne (joonis 5.37).

Joon. 5.37

Koostame valemi selle kauguse arvutamiseks.

d\left(x\right)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-3\right)^2}.

Elimineerides muutuja y esitatud võrdusest, saame

d\left(x\right)=\sqrt{x^2+\left(2x+1-3\right)^2} = \sqrt{5x^2-8x+4}.

Vastavalt ülesande tingimustele otsime ekstreemum­kohta vahemikus (–∞; ∞).

Märgime, et kui kauguse ruut d²(x) on minimaalne, siis on seda ka kaugus d(x). Sellega arvestades saame ülesande lahendust oluliselt lihtsustada. Leiame funktsiooni d(x) miinimum­koha asemel hoopis funktsiooni

k\left(x\right)=d^2\left(x\right)=5x^2-8x+4

miinimum­koha.

Selle leidmiseks arvutame funktsiooni k (x) esimese ja teise tuletise ning lahendame võrrandi k '(x) = 0:

k\ '\left(x\right)=10x-8 ja k\ ''\left(x\right)=10.

Võrrandist 10x-8=0 saame, et vaadeldava funktsiooni ekstreemum võib olla kohal x=\frac{4}{5}.

Et k\ ''\left(\frac{4}{5}\right)=10>0, siis on funktsioonil k (x), seega ka funktsioonil d(x) kohal x=\frac{4}{5} miinimum.

Arvutame lõpuks otsitud kauguse:

d\left(\frac{4}{5}\right)=\sqrt{5\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2-8\cdot\frac{4}{5}+4}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.

Vastus. Punkti (0; 3) kaugus sirgest y = 2x + 1 on \frac{2\sqrt{5}}{5}.