Kindel, juhuslik, võimatu

Juhuslik sündmus, elementaarsündmus
Klassikaline tõenäosus
Tõenäosuse esitamine

Mõisted

Aritmeetikas on alati kindel, et 2 + 2 = 4. Kui me viskame münti, siis ei tea me ette, kumb külg jääb peale, kas „kull“ või „kiri“, seega juhuslikult võib peale jääda „kull“ ja juhuslikult võib peale jääda „kiri“.

Visates täringut ei saa me öelda, mitu silma täringul tuleb. Vibuga märklaua pihta lastes ei tea me, missugust märklaua punkti nool täpselt tabab. Sedalaadi sündmused on juhuslikud sündmused.

Sündmusi, mis antud hetkel võivad toimuda või mitte, nimetatakse juhuslikeks sündmusteks.

Näiteks

Õpetaja pöördub küsimusega minu poole.
Muldapandud seeme idaneb.
Mängukaardi pakist tuleb valimata võttes soovitud kaart.

Sündmusi, mis toimuvad igal juhul, nimetatakse kindlateks sündmusteks.

Näiteks

Päike tõuseb homme.
Elus inimene hingab.
2 ⋅ 3 = 6.
Veeretades kuuetahulist täringut, jääb üks tahk peale.

Sündmusi, mis ei saa toimuda mitte ühelgi tingimusel, nimetatakse võimatuteks sündmusteks.

Näiteks

Pannud mulda kartuli, kasvab sellest apelsinipuu.
Kükitades jäävad põlveliigesed liikumatuks.
Lastes kivil käest kukkuda, jääb see heljuma.

Juhusliku sündmuse toimumise võimalikkust iseloomustatakse selle tõenäosusega. Kui me teeme mõne katse, näiteks viskame mündiga „kulli ja kirja“, siis ei pruugi ilmneda mingit seaduspära. Kui katsete arv on suur, märkame, et katse tulemused hakkavad jaotuma võrdselt, pooled „kullid“, pooled „kirjad“ ning me ütleme, et tõenäosusega $\frac{1}{2}$ tuleb esile „kull“ ja tõenäosusega $\frac{1}{2}$ tuleb esile „kiri“.

Seotud sisu

Tõenäosuse esitamine

Juhuslikke sündmusi tähistatakse tähtedega A, B, C jne. Juhusliku sündmuse toimumise võimalikkust iseloomustatakse selle tõenäosusega. Tõenäosust tähistatakse tähega P ja mingi sündmuse tõenäosust sümboliga P (A). Tõenäosuse tähistus P tuleneb prantsuskeelsest sõnast probabilité – tõenäosus.

Juhusliku sündmuse A tõenäosus on arv 0 ja 1 vahel:

$0 \leq P (A) \leq 1$ ,

mis iseloomustab selle sündmuse toimumise võimalikkust.

See, et tõenäosuse väärtus asub 0 ja 1 vahel, tuleneb sündmuse tõenäosuse seosest selle sündmuse suhtelise sagedusega katsete seerias.

Oletame, et tehakse järjest sõltumatuid katseid ning iga kord võib meid huvitav sündmus toimuda või mitte toimuda. Kui tehakse n katset ja sündmus toimub k katsel, siis sündmuse suhteline sagedus on $\frac{k}{n}$ . On täiesti selge, et $0 \leq \frac{k}{n} \leq 1$ . Katsete arvu n suurenemisel hakkab suhteline sagedus lähenema kindlale arvule, mis ongi selle sündmuse tõenäosus. Kuna reaalselt on võimalik teha vaid lõplik arv katseid, siis suhtelise sageduse $\frac{k}{n}$ väärtust suure katsete arvu n korral nimetatakse ka statistiliseks tõenäosuseks.

Tüüpilised mõtlemisobjektid tõenäosusülesannetes

Mündi pooled, kiri (avers) ja kull (revers)

52 kaardist koosnev kaardipakk

Täringud: dodekaeeder T12, püramiid T4, ikosaeeder T20, oktaeeder T8, dekaeeder T10, kuup T6. Tn tahkude arv täringul

Värvilised kuulid karbis, kotis või urnis

Sündmus A – mündi viskamisel tuleb „kull“
Sündmus B – pliiatsi võtmine karbist, kus on võrdselt teritamata ja teritatud pliiatseid
Sündmus C – täringuks on kuup, veeretamisel tuleb 2 silma
Sündmus D – täringuks on dodekaeeder, veeretamisel tuleb 2 silma
Sündmus E – kaardipakis on 36 kaardist
veerand sinised, võetakse mittesinine kaart

Seotud sisu

Elementaarsündmus

Konkreetne sündmus on seotud nähtuse või protsessiga, millel on lõplik või lõpmatu arv üksteist välistavaid võimalikke lõpptulemusi, mida nimetatakse elementaarsündmusteks. Klassikalise tõenäosuse puhul vaadeldakse nähtusi, millel on lõplik arv n võrdvõimalikke elementaarsündmusi. Arvu n nimetatakse kõigi võimaluste arvuks. Nende elementaarsündmuste arvu k, mille korral sündmus toimub, nimetatakse soodsate võimaluste arvuks.

Märka

Kaks sündmust on teineteist välistavad, kui need ei saa toimuda ühel ajal, ja mittevälistavad, kui need võivad toimuda koos.

Näide 1

Mündi viskamisel on meil kaks teineteist välistavat elementaarsündmust. Need on „kull“ või „kiri“ sõltuvalt sellest, missugusele küljele münt langeb.
Täringuviskel on juba kuus elementaarsündmust. Need on vastava arvu silmade, ühest kuni kuueni, ilmumine täringu ülemisele tahule. Täringuviskel toimub alati vaid üks kuuest elementaarsündmusest ja ülejäänud viis on välistatud.

Sündmuse A klassikaline tõenäosus on

$P (A) = \frac{k}{n}$ ,

kus n on kõigi võimaluste arv ja k on soodsate võimaluste arv.

Näide 2

Kuubikujulise täringu viskamisel on kuus elementaarsündmust. Nendeks on pärast viset ülemisele tahule ilmunud silmade arv. Seega kõigi võimaluste arv on n = 6.

Sündmus A – „tulgu vähemalt 5 silma“ tähendab, et sobivad 5 ja 6 silma, seega soodsaid sündmusi on kaks.

Mittesoodsaid sündmusi on neli, sest ei sobi 1, 2, 3 ja 4 silma.

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Vastus. Vähemalt 5 silma tuleb kuubikujulise täringu veeretamisel tõenäosusega $\frac{1}{3}$ .

Sündmus B – „tulgu mitte rohkem kui 4 silma“ tähendab, et sobivad 1, 2, 3 ja 4 silma, seega soodsaid sündmusi on neli.

$P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Vastus. Mitte rohkem kui 4 silma tuleb kuubikujulise täringu veeretamisel tõenäosusega $\frac{2}{3}$ .

Sündmus C – „veeretamisel ei tohi tulla 2-ga ja 3-ga jaguv silmade arv. Seega ei sobi 2, 3, 4 ja 6. Need on mittesoodsad sündmused ja neid on 4. Seega soodsaid on 6 – 4 = 2 ehk silmade arv 1 ja 5.

$P (C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Vastus. 2-ga ja 3-ga jaguv silmade arv ei tule tõenäosusega $\frac{1}{3}$ .

Märka

Kui ühe sündmuse tõenäosus sõltub sellest, kas teine sündmus toimub või ei toimu, siis need sündmused on sõltuvad. Kui aga sündmuse tõenäosus jääb samaks vaatamata sellele, kas teine sündmus toimub või mitte, siis on need sündmused sõltumatud.

Mõtle

Kahe täringu viskamisel on silmade arv ühel täringul sõltumatu sellest, missugune on silmade arv teisel täringul. Seega, igale silmade arvule esimesel täringul võib kaasneda mis tahes kuuest silmade arvust teisel. Järelikult on meil n = 6 ⋅ 6 = 36 elementaarsündmust kahe täringu jaoks.

Esita vastus taandumatu murruna (va esimene slaid).