Параграф 11.1 (Matemaatika 9. kl)

Valemid ja reeglid

Aritmeetika

Tehted ratsionaalarvudega

Liitmine ja lahutamine

Reegel

  • -a-b=-\left(a+b\right)
  • -b+a=a-b
  • a-\left(-b\right)=a+b

Näide

  • –5 – 7 = –(5 + 7) = –12
  • –5 + 7 = 7 – 5 = 2
  • 5 – (–7) = 5 + 7 = 12

Korrutamine

Reegel

  • -a\cdot\left(-b\right)=a\cdot b
  • a\cdot\left(-b\right)=-a\cdot b
  • 0\cdot a=0

Näide

  • –5 ⋅ (–7) = 35
  • 5 ⋅ (–7) = –35
  • 0 ⋅ 5 = 0

Jagamine

Reegel

  • -a\ :\ \left(-b\right)=\frac{a}{b}
  • a\ :\ \left(-b\right)=-\frac{a}{b}
  • -a\ :\ b=-\frac{a}{b}

Näide

  • -12\ :\ \left(-3\right)=\frac{12}{3}=4
  • 12\ :\ \left(-3\right)=-\frac{12}{3}=-4
  • -12\ :\ 3=-\frac{12}{3}=-4

Nulli jagatises

Reegel

  • 0\ :\ a\ =\ 0
  • Nulliga ei saa jagada!

Näide

  • 0\ :\ 12\ =\frac{0}{12}=0

NB! a ja b on positiivsed arvud.

Korda reeglit

  1. 6 – 9 = 
  2. –6 + 9 = 
  3. 9 + 6 = 
  4. –9 – 6 = 
  5. –6 + 0 = 
  1. 4 ⋅ (–6) = 
  2. –8 ⋅ (–7) = 
  3. –9 ⋅ (+3) = 
  4. 2 ⋅ 0 ⋅ (–3) = 
  5. +5 ⋅ 8 = 
  1. 28 : (–7) = 
  2. –63 : (–9) = 
  3. 45 : 5 = 
  4. 0 : (–1) = 
  5. 12 : 0 = 

Vastandarv ja absoluutväärtus

Vastandarv

Reegel

  • Arvu a vastandarv on a.
  • -\left(-a\right)=a
  • a+\left(-a\right)=0

Näide

  • Arvu 7 vastandarv on –7.
  • –(–9) = 9
  • 7 + (–7) = 0

Absoluutväärtus

Reegel

  • \left|a\right|=a
  • \left|-a\right|=a
  • \left|0\right|=0

Näide

  • \left|13\right|=13
  • \left|-13\right|=13

Järjestamine

Reegel

  • Kui \left|b\right|>\left|a\right|, siis b>a
  • Kui \left|-b\right|<\left|-a\right|, siis -b>-a

Näide

  • \left|9\right|>\left|8\right|
  • \left|-4\right|<\left|-9\right|,\ -4>-9

NB! a ja b on positiivsed arvud.

Korda reeglit

  • –10
  • –7
  • –5
  • –3
  • 3
  • 5
  • 7
  • 10

Arv a

a

 |a|

5

10

–3

–7

  1. –5  |–5|
  2.  |–3|
  3. |–6|  |4|
  4. –(–4)  –4
  5. –|5|  –3

Märka sümboleid

∈ 

kuulub hulka

ei kuulu hulka

=

võrdne

ei ole võrdne

ümardatud tulemus

\nparallel

paralleelne

ei ole paralleelne

ristumine

sarnased kujundid

A ⇒ B

A-st järeldub B

Kiirus, aeg, teepikkus

Ühtlane liikumine

Teepikkus

s=v\cdot t

Kiirus

v=\frac{s}{t}

Aeg

t=\frac{s}{v}

Teisendamine

1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=3,6\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}

  • Nelja tunniga liigub suusataja  km.
  • Kui suusatatud on 25 km, siis on suusataja liikunud  tundi.
  • Suusataja keskmine kiirus on  \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}.
  • Tartu maratoni läbimiseks (63 km) kuluks suusatajal sellise kiirusega sõites 
  • mitte rohkem kui 7 tundi
  • alla 5 tunni
  • peaaegu 10 tundi
  • üle 12 tunni

Protsent

Protsent

Mis on protsent?

1\%=\frac{1}{100}=0,01

p\%=\frac{p}{100}=0,01p

Mis on osa ja osamäär?

\mathrm{osamäär=\frac{\mathrm{osa}}{tervik}}

\mathrm{osa=osamäär\ \cdot\ tervik}

Mis on promill?

1‰=\frac{1}{1000}=0,001

Sõber soovitab

Märka protsenti

1%

\frac{1}{100}

sajandik

0,01

5%

\frac{1}{20}

kahe­kümnendik

0,05

10%

\frac{1}{10}

kümnendik

0,1

20%

\frac{1}{5}

viiendik

0,2

25%

\frac{1}{4}

veerand

0,25

50%

\frac{1}{2}

pool

0,5

75%

\frac{3}{4}

kolmveerand

0,75

100%

1

tervik

1

150%

1\frac{1}{2}

poolteist

1,5

Korda reeglit

  • 1
  • 2
  • 5
  • 10
  • 15
  • 50

1% arvust 500 on

10% arvust 100 on

20% arvust 50 on

25% arvust 200 on

50% arvust 20 on

200% arvust 0,5 on

  • 1%
  • 5%
  • 10%
  • 20%
  • 25%
  • 50%
  • 200%

2 on 4-st

10 on 200-st

9 on 36-st

44 on 22-st

5 on 25-st

10 on 1000-st

Algebra

Tehted astemetega

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

a^m\ :\ a^n=a^{m-n}

\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}

\left(a\cdot b\right)^m=a^m\cdot b^n

\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^n},\ b\ne0

a^0=1,\ a\ne0

\sqrt{b}=a ⇒ a^2=b,\ b\ge0

Nulliga ei saa jagada!

  • 0
  • 1
  • 2
  • 24
  • 25
  • 26

2^3\cdot2^2= 

2^8\ :\ 2^2\ =\

\left(2^3\right)^2= 

2^0= 

\left(10\ :\ 5\right)^4= 

\left(4\cdot0,5\right)^5= 

Abivalemid

\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2

\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2

\left(a-b\right)^2=\left(b-a\right)^2

\left(-a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2

a\left(b+c\right)=ab+ac

\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd

\left(a+b\right)\ :\ c=a\ :\ c+b\ :\ c=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}

\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}

Korda reeglit

  • x2-9
  • x2+9
  • x2-6x+9
  • x2+6x+9

\left(x+3\right)^2=

\left(x-3\right)^2=

\left(x-3\right)\left(x+3\right)=

\left(3-x\right)^2=

  • 2x-1
  • 2x
  • x2+2
  • x2+x-6
  • x2+x-3
  • 3x2+2x

x\left(3x+2\right)=

\left(x+3\right)\left(x-2\right)=

\left(6x^2-3x\right)\ :\ \left(3x\right)=

\frac{2x^3+4x}{2x}=

Võrrandid

Lineaarvõrrand ja võrre

Lineaarvõrrand

Lahendamine

ax+b=0

ax=-b:\ a

x=-\frac{b}{a}

Näide

3x+6=0

3x=-6:\ 3

x=\frac{-6}{3}=2

Võrdekujuline võrrand

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ ⇒ ad=bc

Näide

\frac{2}{5}=\frac{6}{x}\ ⇒ 2\cdot x=5\cdot6\

2x=30 ja x=15

Korda reeglit

  • –4
  • –3
  • 3
  • 4
  1. -3x=12

x=

  1. 5x-20=0

x=

  1. 24+8x=0

x=

  1. -4x-16=0

x=

  • –5
  • 5
  • –10
  • 10
  1. \frac{x}{4}=\frac{15}{12}

x=

  1. \frac{-6}{x}=\frac{3}{-5}

x=

  1. \frac{10}{-40}=\frac{x}{20}

x=

Mittetäielik ruutvõrrand

ax2 + c = 0

Kaks lahendit

-3x^2+12=0

–3x2 = –12 |:(–3)

x^2=4

x_1=\sqrt{4}=2

x_2=-\sqrt{4}=-2

Lahendid puuduvad

3x^2+12=0

3x2 = –12 |:3 

x^2=-4

Lahendid puuduvad,
sest ühegi reaalarvu ruut pole negatiivne.​

ax2bx = 0

Alati on kaks lahendit, millest üks on null.

x^2-6x=0

x\left(x-6\right)=0

Korrutis on null, kui vähemalt üks teguritest on null.

x_1=0

x-6=0

x_2=6

Korda reeglit

Leia võrrandi lahendid.

x^2-100=0

  • –10
  • 0
  • 10
  • lahend puudub

2x^2+50=0

  • –5
  • 0
  • 5
  • lahend puudub

10x+x^2=0

  • –10
  • 0
  • 10
  • lahend puudub

5x^2-25x=0

  • –5
  • 0
  • 5
  • lahend puudub

Täielik ruutvõrrand

ax2 + bx + c = 0

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Juurealust avaldist nimetatakse diskriminandiks D.

D=b^2-4ac

x2pxq = 0

Täielik taandatud ruutvõrrand, sest a = 1.

x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

Taandatud ruutvõrrandi

 x2 + px + q = 0 

lahendite korrutis on võrdne vabaliikmega ja lahendite summa on võrdne lineaarliikme kordaja vastandarvuga.

x_1\cdot x_2=q

x_1+x_2=-p

Korda reeglit

Ruutvõrrandi 2x^2-11x+5=0diskriminant

D ja lahendid

  • 0
  • –0,5
  • 0,5
  • –5
  • 5
  • puuduvad

Ruutvõrrandi x^2+2x-15=0 lahendite summa on  ja lahendite korrutis on 

Lahendid

  • 2
  • –15
  • 3
  • –3
  • –5
  • 5
  • –2
  • 15
  • puuduvad

Võrdeline, lineaarne ja pöörvõrdeline seos

Võrdeline, lineaarne ja pöördvõreline seos

Võrdeline seos

a=\frac{y}{x}\ ⇒\ y=ax

Graafikuks on sirge, mis

  • on tõusev, kui  > 0; 
  • on langev, kui a < 0.
  • läbib alati punkti\left(0;\ 0\right).

Lineaarfunktsioon

y=ax+b

Graafikuks on sirge, mis

  • lõikab x-telge, kui y=0;
  • lõikab y-telge, kui x=0;
  • läbib alati punkti\left(0;\ b\right).

Pöördvõrdeline seos

xy=a\ ⇒ y=\frac{a}{x},\ x\ne0

Graafikuks on hüperbool, mis asub

  • I ja III veerandis, kui a > 0;
  • II ja IV veerandis, kui a < 0.

Korda reeglit

      • y=3x
      • xy=9
      • y=2x
      • y=12x
      • y=-3x
      • y=-9x+1
      • (0; 0)
      • (0; 2)
      • (0; –2)
      • (0; 3)
      • (0; –3)
      • (2; 0)
      • (–2; 0)
      • (–3; 0)
      • (3; 0)

      Sirge

      Lõikepunkt
      x-teljega

      Lõikepunkt
      y-teljega

      y=3x

      y=x+3

      y=2-x

      1. Punkt (4; 1)  y=\frac{4}{x} graafikul.
      2. Punkt (–2; 5)  y=-\frac{10}{x} graafikul.
      3. Punkt (–2; –4)  y=-\frac{8}{x} graafikul.
      4. Punkt (5; 0)  y=\frac{5}{x} graafikul.
      5. Punkt (3; –5)  y=-\frac{15}{x} graafikul.

      Ruutfunktsioon

      Ruutfunktsioon

      y=ax^2+bx+c

      • Graafik on parabool.
      • Parabool avaneb üles, kui a > 0.
      • Parabool avaneb alla, kui a < 0.
      • Nullkohad on vastava ruutvõrrandi lahendid x_1 ja x_2.
      • Haripunkti abstsiss x_h=-\frac{b}{2a}\ või x_h=\frac{x_1+x_2}{2}.

      yax2

      • Graafik läbib alati punkti \left(0;\ 0\right).
      • Nullkohad x_1=x_2.
      • Vastava ruutvõrrandi diskriminant on D=b^2-4ac=0.

      y = ax2 + c

      • Graafik läbib alati punkti \left(0;\ c\right),mis on ühtlasi haripunkt.
      • Kui D > 0, siis on kaks nullkohta.
      • Kui D < 0, siis nullkohad puuduvad.

      y = ax2 + bx

      • Graafik läbib alati punkti (0; 0).
      • Kaks nullkohta:
        ​ x_1=0 ja x_2.
      • D=b^2-4ac>0

      yax2bxc

      • Graafik läbib alati punkti \left(0;\ c\right).
      • Kui D > 0, siis on kaks nullkohta. 
      • Kui D < 0, siis nullkohad puuduvad.
      • Kui D = 0, siis on üks nullkoht.

      Korda reeglit

      Uuri funktsiooni.

      y=x^2-9

      • Funktsiooni graafikuks on  mis avaneb 
      • Nullkohad: 
      • Haripunkt H

      y=-x^2-9

      • Funktsiooni graafikuks on  mis avaneb 
      • Nullkohad: 
      • Haripunkt H

      y=-x^2+3x

      • Funktsiooni graafikuks on  mis avaneb 
      • Nullkohad: 
      • Haripunkti abstsiss xh =

      y=x^2-2x-3

      • Funktsiooni graafikuks on  mis avaneb 
      • Nullkohad: 
      • Graafik lõikab y-telge punktis 
      • Haripunkt H

      Geomeetria

      Nurgad hulknurgas ja paralleelide vahel

      Nurgad hulknurgas

      n-nurga nurkade summa

      S_n=\left(n-2\right)\cdot180\degree.

      Näide

      Leiame seitsenurga nurkade summa.

      S_7=\left(7-2\right)\cdot180\degree=900\degree

      Seitsenurk

      Korrapärane n-nurk 

      Ühe sisenurga suurus

      \mathrm{\alpha}=\frac{\left(n-2\right)\cdot180\degree}{n}

      või

      \mathrm{\alpha=}180\degree-\frac{360\degree}{n}.

      Näide

      Korrapärase viisnurga nurk

      \mathrm{\alpha=}180\degree-\frac{360\degree}{5}=108\degree.

      Korrapärane viisnurk

      Joonisel on paralleelsed sirged s ja t.

      s\parallel t

      Sellisel juhul 

      • tekivad võrdsed põiknurgad

      \angle4=\mathrm{\beta,\ }\angle3=\mathrm{\alpha},

      • lähisnurkade summa on 180°.

      \angle4+\mathrm{\alpha}=180\degree

      \angle3+\mathrm{\beta}=180\degree

      • 180°
      • 360°
      • 3
      • 4
      • 5

      kolmnurk 

      ruut 

      viisnurk ⋅ 180°

      kuusnurk ⋅ 180°

      seitsenurk ⋅ 180°

      Ring

      Pindala, ümbermõõt, puutuja

      • Diameeter on kaks korda pikem kui raadius.
      • Puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega (vt joonist).
      • Ümbermõõt
        C=2\cdot\pi\cdot r
      • Pindala
        S=\pi\cdot r^2​​

      Nurgad ringis

      • Täisring on 360°.
      • Kesknurk on kaks korda suurem samale kaarele toetuvast piirdenurgast.
      • Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.

      Thalese teoreem

      Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.

      • Kui α = 70°, siis β = 
      • Kui β = 70°, siis α = 
      • Kolmnurk, mille üks külg on diameeter, on 

      Hulknurk

      Rööpkülik

      • Vastasküljed on paralleelsed.
      • Vastasküljed on võrdsed.
      • Ümbermõõt
        ​ P=2a+2b.
      • Pindala
        ​ S=a\cdot h.

      Romb

      • Küljed on võrdsed.
      • Diagonaalid on risti.
      • Ümbermõõt
        ​ P=4\cdot a.
      • Pindala
        ​ S=\frac{d_1\cdot d_2}{2}.

      Trapets

      • Alused a ja b on paralleelsed.
      • Kesklõik k on aluste poolsumma.
      • S=\frac{a+b}{2}\cdot h
      • S=k\cdot h

      Korrapärane hulknurk

      Korrapärane kuusnurk

      Jaotub võrdhaarseteks kolmnurkadeks.

      • r – apoteem
      • n - külgede arv
      • S=n\cdot\frac{a\cdot r}{2}
      • P=n\cdot a

      Ainult korrapärane kuusnurk jaotub võrdkülgseteks kolmnurkadeks.

      Korda reeglit

      Leia pindala ja ümbermõõt.

      a = 12 cm, b = 10 cm, ha = 8 cm

      • 30 
      • 44
      • 80
      • 96
      • 120

      S cm2

      P cm

      d1 = 24 cm, d2 = 10 cm, a = 13 cm

      • 40
      • 47
      • 52
      • 96
      • 120
      • 130
      • 240

      S cm2

      P cm

      a = 15 cm, b = 10 cm, h = 12 cm,
      haarad 12 cm ja 13 cm

      • 50
      • 62
      • 120
      • 150

      S = cm2

      P cm

      a = 10 cm, r ≈ 12 cm

      • 80
      • 96
      • 240
      • 480
      • 960

      S ≈  cm2

      P cm

      Kolmnurk

      • Nurkade summa  on 180°.
      • Pindala S=\frac{ah}{2}.

      Kesklõik

      • Ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte.
      • On paralleelne küljega.
      • On kaks korda lühem kui sellega paralleelne külg.

      Näide

      EF\parallel BC

      BC=2\cdot EF

      Mediaan

      • Ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga.
      • Mediaanide lõikepunkt jaotab mediaani suhtes 2 : 1 tipust alates.

      Näide

      AO=2\cdot OD

      • 5
      • 7
      • 10
      • 12
      • 14


      Täisnurkne kolmnurk

      Pythagorase teoreem

      Trigonomeetrilised funktsioonid

      • siinus\mathrm{ }=\frac{\mathrm{vastaskaatet}}{\mathrm{hüpotenuus}}
        \sin\alpha=\frac{a}{c}
      • koosinus=\frac{\mathrm{lähiskaatet}}{\mathrm{hüpotenuus}}
        \cos\alpha=\frac{b}{c}
      • tangens\mathrm{=\frac{\mathrm{vastaskaatet}}{lähiskaatet}}
        \tan\alpha=\frac{a}{b}​​
      • 5
      • 8
      • 12
      • 15
      • 17
      • 25

      a

      b

      c

      3

      4

      12

      13

      6

      10

      8

      15

      Sarnased kujundid

      • Vastavate külgede suhe on konstantne.
      • Vastavad nurgad on võrdsed.
      • Üks kujund on teise suurendatud või vähendatud kujutis.
      • Külgede ja ümbermõõtude suhe on sarnasustegur k.
      • Pindalade suhe on k2.

      NN

      Kolmnurkade sarnasuse tunnus nurk-nurk

      Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on need kolmnurgad sarnased.

      Kolmnurgad on sarnased. Mõlema kolmnurga kolmas nurk on 39°

      KKK

      Kolmnurkade sarnasuse tunnus külg-külg-külg

      Kui ühe kolmnurga küljed on vastavalt võrdelised teise kolmnurga külgedega, siis on need kolmnurgad sarnased.

      Kolmnurgad on sarnased. \frac{16}{8}=\frac{14}{7}=\frac{19}{9,5},\ k=2

      KNK

      Kolmnurkade sarnasuse tunnus külg-nurk-külg

      Kui ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed, siis on need kolmnurgad sarnased.

      \frac{5}{10}=\frac{6}{12},\ k=0,5\ ja nurk 100°

      Korda reeglit

      1.  ruudud on sarnased.
      2.  ringid on sarnased.
      3.  rombid on sarnased.
      4.  täisnurksed kolmnurgad on sarnased.
      5.  võrdkülgsed kolmnurgad on sarnased.

      Ühe täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 55°.

      Teise täisnurkse kolmnurga üks teravnurk on 35°.

      Need kolmnurgad  sarnased.

      Ühe kolmnurga küljed on 5 cm, 6 cm ja 8 cm.

      Teise kolmnurga küljed on 10 cm, 12 cm ja 16 cm.

      Need kolmnurgad  sarnased.

      Ühe kolmnurga nurk on 53° ning selle nurga lähisküljed on 10 cm ja 14 cm.

      Teise kolmnurga üks nurk on 53° ning selle nurga lähisküljed on 10 cm ja  7 cm.

      Need kolmnurgad  sarnased.

      Stereomeetria

      Püstprisma

      Kolmnurkse püstprisma põhi on kolmnurk
      • Prisma kaks paralleelset põhja on võrdsed hulknurgad.
      • Põhja ümbermõõt P on kõikide põhiservade summa.
      • Põhja pindala Sp on vastava hulknurga pindala.
      • Täispindala St on kõikide tahkude pindalade summa.
      • Ruumala V on põhja pindala Sp ja kõrguse H korrutis.
      Kuusnurkse prisma põhi on kuusnurk

      Külgpindala

      S_k=PH

      Täispindala

      S_t=2\cdot S_p+S_k

      Ruumala

      V=S_p\cdot H

      Püströöptahuka põhi on rööpkülik külgedega a ja b

      Põhja pindala 

      Põhjadeks on rööpkülikud.

      S_p=a\cdot h

      Külgpindala

      S_k=P\cdot H

      P=2a+2b

      Prisma pinnad

      Püramiid

      Korrapärane nelinurkne püramiid

      Põhjaks ruut

      S_p=a^2

      Külgpindala

      S_k=4\cdot\frac{am}{2}

      Ruumala

      V=\frac{S_p\cdot H}{3}

      Korrapärane püramiid

      • Põhi on korrapärane hulknurk ümbermõõduga P ja pindalaga Sp.
      • Külgtahud on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad. 
      • Kõrgus H on tipu kaugus põhjast.
      • Külgpindala Sk on kõikide külgtahkude pindalade summa.
      • Täispindala St on kõikide tahkude pindalade summa.
      Korrapärased (1, 2, 3, 7, 8) ja mittekorrapärased (4, 5, 6) püramiidid

      Püramiidi pinnad

      Silinder

      Kõrgus H

      Raadius r

      Külgpindala

      Külgpind on ristkülik.

       S_k=C\cdot H=2\pi r\cdot H

      Põhja pindala

      Põhi on ring.

      S_p=\pi r^2

      Täispindala

      Kõikide pindade summa.

      S_t=2\cdot S_p+S_k

      Ruumala

      Põhja pindala ja kõrguse korrutis.

      V=S_p\cdot H

      V=\pi r^2\cdot H

      Silindri pinnad

      Koonus

      Kõrgus H

      Moodustaja m

      Raadius r

      Külgpindala

      Külgpind on sektor.

      S_k=\pi rm

      Põhja pindala

      Põhi on ring.

      S_p=\pi r^2

      Täispindala

      Kõikide pindade summa. 

      S_t=S_p+S_k

      Ruumala

      Kolmandik põhja pindala ja kõrguse korrutisest.

      V=\frac{S_p\cdot H}{3}

      V=\frac{\pi r^2\cdot H}{3}

      Koonuse pinnad

      Kera

      Kera raadius r

      Ruumala

      V=\frac{4}{3}\pi r^3

      Pindala

      S=4\pi r^2

      Idee, kuidas jaotada kera pinda.

      Пожалуйста, подождите