GLM 7 1.1

Arvjadad

  • Puuduvad arvud
  • Jada
  • Rekurrentne jada
  • Mõned huvitavad jadad
  • Kujundarvud

Puuduvad arvud

  1. 5; 7; 9; 11; 
  2. –1; 2; 5; 8; 
  3. 7; 10; 15; 22; 
  4. 3; 12; 27; 48; 75; 
  5. 1; –4; 9; –16; 25; 
  6. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 

1. Täida tabel, kui kujundi järjekorranumber on n.

n

1

2

3

4

Kolm­nurki

2. Leia reegel, mille järgi saab arvutada kolmnurkade arvu järjekorras n-ndal kohal olevas kujundis.

  • n + 3
  • 3n + 1
  • 2n + 3
  • 4n – 1

Jada

Jada

Jadaks nimetatakse järjestatud loenduvat hulka.

  • Järjestatud jada elemente tähistatakse
    a1; a2; a3; ...; an; ... ;
    ​kus n ∈ ℕ on jada elemendi järjekorranumber.
  • Jada liiget an nimetatakse jada üldliikmeks.
  • Jada tähistatakse lühidalt selle üldliikme järgi {an}.

Märka

Kui on olemas valem, mis võimaldab indeksi n väärtuse järgi arvutada üldliikme an väärtuse, siis nimetatakse seda üldliikme valemiks.

Sel juhul 

an = f(n).

Näited

Jada 1

Jada üldliige on an = n + n22 .

Leiame jada esimesed kolm liiget ja kümnenda liikme.

a1 = 1 + 122 = 1

a2 = 2 + 222 = 3

a3 = 3 + 322 = 6

a10 = 10 + 1022 = 55

Jada üldliige on an = - 1n1 + 3n .

a1 = - 111 + 3 · 1 = -

a2 = - 121+3· 2 =

a3

a4

1. Jada 3; 6; 9; 12; ... üldliikme valem on

  • 2n² + 1
  • 3n
  • 4n² – 2n + 1
  • 6n – 3

2. Jada 3; 9; 19; 33; ... üldliikme valem on

  • 2n² + 1
  • 3n
  • 4n² – 2n + 1
  • 6n – 3

3. Jada 3; 9; 15; 21; ... üldliikme valem on

  • 2n² + 1
  • 3n
  • 4n² – 2n + 1
  • 6n – 3

Rekurrentne jada

Rekurrentne jada

Rekurrentseks jadaks nimetatakse jada, kus iga liige pärast esimest avaldub sellele eelnevate liikmete kaudu.

Näiteks 

Tribonacci jada {Tn}.

{1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; 44; 81; ...}

Fibonacci jada

Fibonacci jada {Fn} on rekurrentne jada

{1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …},

milles iga järgmine liige on kahe eelmise summa.

F1 = F2 = 1

Fn = Fn–2 + Fn–1, n ≥ 2

Luca jada

Luca jada {Ln}on rekurrentne jada

{2; 1; 3; 4; 7; 11; 18; ...},

milles iga järgmine liige alates kolmandast on kahe eelmise summa.

L1 = 2 ja L2 = 1

Ln = Ln-2 + Ln-1, n ≥ 3

Märka

Kuldlõige

Lõigu jaotamist kaheks osaks selliselt, et kogu lõigu pikkus suhtub pikema osa pikkusesse nii, nagu pikema osa pikkus suhtub lühema osa pikkusesse, nimetatakse kuldlõikeks.

cb = bc-b = 1 + 52 = Φ

Arvu Φ nimetatakse kuldlõike suhtarvuks.

Fibonacci ja kuldlõige

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega. Piisavalt suure Fibonacci arvu ja sellele eelneva arvu jagatis on ligikaudu kuldlõike suhtarv.

FnFn1 1,618... Φ

Looduses

Paljudes looduslikes protsessides või nähtustes tulevad esile Fibonacci jada liikmed. Näiteks võib neid märgata molluskite kodade ehituses.

Käbid ja õied

Fibonacci arve võib kohata karikakra õie, ananassi vilja ning käbide mustris.

Näide

Küülikute paljunemine

Oletame, et sünnib üks paar küülikuid, emane ja isane. Küülikud saavad suguküpseks ühe kuuga, paarituvad ja veel ühe kuu pärast toob emane ilmale kaks järeltulijat. Igal küülikupaaril sünnib alati üks emane ja üks isane järeltulija.

Eeldusel, et küülikud ei sure, on kolmandal kuul küülikupaare juba kaks. Kolmanda kuu lõpul toob vanima küülikupaari emane ilmale uue paari järeltulijaid. Neljandal kuul on paare seega kolm ning esimesed järeltulijad on saanud täiskasvanuks. Seega, neljanda kuu lõpus poegib juba kaks paari ja viiendaks kuuks kasvab paaride arv viieni. Kui jänesed sellise reegli järgi paljunemist jätkavad, siis on jänesepaaride hulk igal kuul võrdne Fibonacci jada vastava liikmega.

1. Millisesse arvuhulka kuulub arv Φ?

  • 𝕀

2. Lahenda ahelvõrdus

cb = bc - b = Φ ,

et  leida kuldlõike suhtarvu positiivne väärtus

Φ = 1 + 52 .

Lahendus on järgmisel slaidil.

Lahendus

1. Kui cb = Φ ,  siis c = bΦ.

2. Asendame bb Φ -b = Φ ,  millest saame ruutvõrrandi

bΦ² – bΦ – b = 0.

3. Jagame võrrandi liikmed b-ga.

Φ² – Φ – 1 = 0

Φ = 1 ± 52

4. Lahend 1-52 on negatiivne ja 1+52 positiivne.

Huvitavaid jadasid

Faktoriaalide jada

an = n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n

0! = 1

 {1; 1; 2; 6; 24; 120; 720; ...}, kui n ≥ 0.

Näiteks

a12 = 479 001 600

Fermat’ arvude jada

Fermat’ arvudeks nimetatakse naturaalarve kujul 

  Fn = 2 2n + 1 .

{3; 5; 17; 257; 65 537; 4 294 967 297; ...}, kui n ≥ 0.

Fermat’ jada viis esimest liiget on algarvud.

Alikvootjada

on naturaalarvude jada, mille iga liige alates teisest on eelneva liikme kõigi tegurite (v.a arv ise) summa.

Näiteks

Arvu 10 alikvootjada on 

{10; 8; 7; 1}

Vaata-ütle jada

Jada, mille liikmete vahel pole esialgsel vaatlusel mingit seost, on oma nime vääriline.

Näiteks

Arvud 1; 11; 21; 1211; 111 221; ... on ühe vaata-ütle-jada viis esimest liiget.

1. Arvu 4 alikvootjada:

2. Arvu 8 alikvootjada:

3. Arvu 12 alikvootjada:

Laisa toitlustaja jada

Maksimaalse tükkide arvu jada, mis tekib, kui lõigata piiratud pinda sirgetega.

an = n2+n + 22

Jaga pannkook võimalikult paljudeks osadeks 5 lõikega.

Vastus on järgmisel slaidil.

Kui  n = 5, siis saab pannkoogi jagada maksimaalselt  tükiks.

Ruudud ja kuubid

1. Jada üldliige an =

  • 2n
  • n² – 2n
  • n²

2. Millisest liikmest alates ületavad jada elemendid väärtuse 2 ⋅ 1010?
Vastus. Alates liikmest
n.

1. Jada üldliige an =

  • 3n
  • n³
  • n³ – 3n
  • 3n²

2. Mitmes element tuleb korrutada 100. elemendiga, et korrutis oleks 2,7 ⋅ 107?
Vastus. Element n = .

Kujundarvud

Kolmnurkarvud

Kui korrapäraseid kolmnurki konstrueerida joonisel näidatud viisil, siis punktide või ringide arvud moodustavad kolmnurkarvude jada.

Kn = {1; 3; 6; 10; 15; ...}

Ruutarvud

Kui liita kõrvutiolevad kolmnurkarvud, siis saame ruutarvude jada.

Viisnurkarvud

Viisnurkarvude jada

Vn = {1; 5; 12; 22; 35; ...}

üldliige on

vn = n3 - n2 .

Esimesed neli viisnurkarvu

Märka

  • Kolmnurkarvud ei lõpe kunagi numbriga 2, 4, 7 või 9.
  • Iga naturaalarvu võib esitada mitte rohkem kui kolme kolmnurkarvu summana. Näiteks 51 = 15 + 36.

1. Leia iga ruutarvu erinevus naaberarvust ja reasta tulemused. Saadud jada üldliige on

  • 2n – 1
  • 3n – 2
  • 2n + 1
  • 4n – 3

2. Leia iga kolmnurkarvu erinevus naaberarvust ja reasta tulemused. Saadud jada üldliige on

  • n + 1
  • 2n
  • 2n –1
  • 3n – 2

3. Leia iga viisnurkarvu erinevus naaberarvust ja reasta tulemused. Saadud jada üldliige on

  • 3n –1
  • 3n + 1
  • 4n – 1
  • 4n + 1

Näide

Hulknurkarvude jadad

  • Kuusnurkarvude jada üldliige

hn = 4n2 - 2n2 = 2n2 - n

  • Seitsenurkarvude jada üldliige

hn = 5n2 - 3n2

  • Tuhatnurkarvude jada üldliige

hn = 9998n2 - 9996n2

Harjuta ja treeni

  1. Väljenda selle jada viisnurkade külgedel olevate täppide arvu üldliige.
    Vastusan
  2. Mitu täppi on kahekümnendal viisnurgal?
    Vastusa20 

Tõesta

Kuldlõike suhtarvul on üks huvitav omadus: tema pöördväärtus on täpselt ühe võrra väiksem kui arv ise.

1 Φ = Φ -1

Tõesta see omadus kuldlõike definitsiooni põhjal:

cb = bc - b = 1+52=Φ .

  1. Jada liikmed on 13 ; 14 ; 15 ; 16;... 
    • Üldliige an =
    • a18
  2. Jada liikmed on 5,5; 8; 10,5; 13; 15,5; ...
    • Üldliige an
    • a11

1. Sellise püramiidi põhjakihis olevate kuupide arvu üldliige an =

  • 4n
  • 4n – 3
  • 4n – 4
  • n²
  • 4n²
  • 4n² – 4

2. Kui püramiidis oleks kihte 17, siis kõige alumises kihis oleks  kuupi.

  1. 3;; 11 13; 3113
  2. 2; 12; 
  3. ; 312 211; 
GLM 7 1.1
Palun oota