GLM 11 1.1

Alg­funktsioon ja tuletis­funktsioon

  • Tuletise leidmine
  • Algfunktsiooni mõiste
  • Tuletise põhjal algfunktsiooni leidmine
  • Funktsiooni avaldise taastamine
  • Vabaliige ja selle mõju funktsioonile

Pöördoperatsioonid

Asume uurima diferentseerimise pöördoperatsiooni, mida nimetatakse integreerimiseks.

Tuletise avaldisele saab seada vastavusse funktsiooni, mille tuletiseks see on. Selle operatsiooni tulemusena seatakse antud funktsioonile vastavusse selle algfunktsioon.

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon, st

F′(x) = f(x), xX,

kus X on funktsiooni f(x) määramispiirkond.

(x3 )′= 3x2. Järelikult, 3x2 algfunktsioon on x3.

Kuid ka (x3 + 1)′ = 3x2, (x3 – 5)′ = 3x2 jne.

See näitab, et algfunktsioon pole  üheselt määratud. Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis ka (F(x) + C) on algfunktsioon, sest konstandi C tuletis on null:

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x).

Järelikult on antud funktsioonil lõpmatult palju algfunktsioone, mis erinevad vaid konstandi poolest.

Mõtle

Määra graafikul F(x) ja f(x). Põhjenda otsust avaldistega.

  • F(x)′
  • f(x)
  • 4x
  • 4
= 4x ja = 4

sest ()′ = 

  • F(x)
  • f(x)
  • x²
  • 2x
x² ja = 2x

sest ()′ = 

  • F(x)
  • f(x)
  • 3x3 + 2
  • 9x2
= 3x3+2 ja = 9x2

sest ()′ = 

  • F(x)′
  • f(x)
  • 2x
  • -2x2
= 2/x ja = –2/x2

sest ()′ = 

  • F(x)
  • f(x)
  • 2 sin x – 1
  • 2 cosx
= 2 sin x – 1 ja = 2 cos x 

sest ()′ = 

  • F(x)
  • f(x)
  • ex + e
  • ex
= ex + e  ja = ex 

sest ()′ = 

Leiame funktsiooni f(x) = 2 – 2x kõik algfunktsioonid ning nende seast selle algfunktsiooni, mille graafik läbib punkti P(2; 3).

1. Kuna x′ =  ja (x2 )′ = ,
siis f(x) = 2 – 2x   on
F(x) = 2x – x2.

Tõepoolest,

F′(x) = (2xx2 )′ =
= 2x′ – (x2 )′ =
= 2 – 2x = f(x).

 Seega,  omavad kuju

F(x) + C = 2xx2 + C.

2. Leiame C nii, et algfunktsiooni graafik läbiks punkti P(2; 3).

Seega F(x) =  ning x.

3 = 2 · 2 – 22 + C ⇔ C = .

Vastus. Algfunktsiooniks on y = 2xx2 + C. Punkti P(2; 3) läbib algfunktsiooni y = 2xx2 + 3 graafik.

Uuri graafikuid järgmisel slaidil.

F(x) + C = 2xx2 + C

F(x) + C = 2x – x2 + C

Harjuta ja treeni 

  • 6x + 2
  • 5x4 + 4
  • 20x3
  • 2x-32x2
  • 4x3 - 9x4

F1(x) =  3x2+2x+4

f1(x) = 

F2(x) = 

f2(x) =  6

F3(x) =  x5+4x-2

f3(x) = 

F4(x) = 

f4(x) = 

F5(x) = 

f5(x) =  3x3-2x2

F6(x) =  3x3-2x2

f6(x) = 

  • F(x) = x33 -2x2 +C
  • F(x)=2x+C
  • F(x)=sinx+C
  • F(x)=2x2-2x+C
  • F(x)=x2+C
  • F(x)=lnx+C
  • F(x)=cosx+C
  • F(x)=2x33-x2+C
  • F(x)=-x3+x+C
  • F(x) = x33 -2x2 +C
  • F(x)=2x+C
  • F(x)=sinx+C
  • F(x)=2x2-2x+C
  • F(x)=x2+C
  • F(x)=lnx+C
  • F(x)=cosx+C
  • F(x)=2x33-x2+C
  • F(x)=-x3+x+C
  • F(x) = x33 -2x2 +C
  • F(x)=2x+C
  • F(x)=sinx+C
  • F(x)=2x2-2x+C
  • F(x)=x2+C
  • F(x)=lnx+C
  • F(x)=cosx+C
  • F(x)=2x33-x2+C
  • F(x)=-x3+x+C
  • f(x) kõik algfunktsioonid on 
  • –2xx2
  • –2 + C
  • –2x – 2
  • –2xx2 + C
  • –2xx2 + 1
  • –2x –2x2 + C
Mõned funktsiooni f(x) algfunktsioonid
  • Otsitav algfunktsioon on
  • -2 + 3
  • -2 - 2x - 5
  • -2x - x2
  • -2x - x2 - 5
  • -2x - x2 + 3
  • - x2 3 - x2 + 3
  • Algfunktsioon läbib ka
    1. punkti (1; )
    2. punkti (; –5) või (; –5)

  f(x)=-1x2+2x

Algfunktsioon sisaldab liidetavaid

  • –2
  • 3
  • - 1x
  • 1x
  • - 1 2x
  • 1 2x
  • x2
  • - x2
  • - 1x2
  • 1x2

Vastus. Otsitav algfunktsioon läbib punkte  ja D.

Abiks õpetamisel
F = y=1x+x2-2 ,  läbib punkte B ja D.
Lahendusideed.
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, lugedes argumendi x graafikult.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

y = f(x) = cosx - sinx ,   F( π 4) = 2

Abiks õpetajale
F(x) = sin x + cos x, roheline graafik 
Lahendusideed
a) Kui õpilane on vabaliikme leidnud, saab ta kontrollida, kas punkt asetseb joonel, kui võtta argumendi x väärtuseks näiteks 0 või 0,5π.
b) Saab kasutada mõnda tarkvara, konstrueerida selle alusel taastatud algfunktsioon ja graafikuid võrrelda.

  1. f(x) = x + 2
  2. f(x) = 3x2 – 2x + 4
  3. f(x) = 5x4 + 6x2
  4. f(x) = sin x
  5. f(x) = –2 cos x
  6. f(x) =  3 cos2 x
  7. f(x) =  1x + 4
  8. f(x) = 6exx
  9. f(x) =  - 1 x2 + 2x3

Leia tehe, mille liidetav see on.

x22

ln x

x2

1x

–2 sin x

C

Vastused

  1.   x22  + 2x + C
  2.  x3x2 + 4x + C
  3.  x5 + 2x3 + C
  4.  –cos x + C
  5.  –2 sin x + C
  6.  3 tan x + C
  7.  ln x + 4x + C
  8.  6ex – 0,5x2 + C
  9.   1x  + 0,5x4 + C

Reegel

(F(x) + C)′ = F′(x) + 0 = f(x)

Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks on funktsioon F(x), mille tuletiseks on antud funktsioon.

Tuletiste tabel

  • ax ln x
  • ex
  • axa–1
  • 0
  • 1x
  • 1xlna
  • sin x
  • cos x
  • -1sin2x
  • 1cos2x

f(x)

f′(x)

f(x)

 f′(x)

C

 

loga x

 

xa

 

sin x

 

ex

 

cos x

 

ax

 

tan x

 

ln x

 

cot x

 

GLM 11 1.1
Palun oota