Peatükk 1.1 (GLM 13)

Sissejuhatus ruumi­geomeetriasse

  • Punkti kaugus 
  • Lõigu projektsiooni pikkus
  • Nurk lõikude vahel

Punkti kaugus

Ruumigeomeetria ehk stereomeetria tegeleb ruumiliste kehade ja nende lõigetega. Alustame sammsammulist üleminekut tasapinnalt kolmemõõtmelisse ruumi. 

Tasandigeomeetria

  • Kui kaugel on punkt sirgest.

Ruumigeomeetria

  • Kui kaugel on punkt tasandist.
  1. A kaugus sirgest  t on .
  2. A kaugus sirgest  s on .
  3. A kaugus sirgest  v on .
  1. M on tahust BCC1B1  ühiku kaugusel.
  2. M on  kõige lähemal tahule
  3. Punkt C asub kõige kaugemal servast 
  • AB.
  • AD.
  • BC.
  • A1B1.

Näide

Punktide A ja C vaheline kaugus, punkti A kaugus sirgest BC, punkti A kaugus püramiidi põhjast

Projektsiooni pikkus

Tasandigeomeetria

  • Kui pikk on lõigu projektsioon sirgel?

Ruumigeomeetria

  • Kui pikk on lõigu projektsioon tasandil?

Lõigud ja sirged asuvad ühikruudulisel pinnal.

  1. Lõigu AB projektsiooni pikkus sirgel s on .
  2. Lõigu AB projektsiooni pikkus sirgel t on .
  3. Lõigu AC projektsiooni pikkus sirgel s on .
  4. Lõigu AC projektsiooni pikkus sirgel t on .
  5. Lõigu AD projektsiooni pikkus sirgel s on .
  6. Lõigu AD projektsiooni pikkus sirgel t on .

Lõigud asuvad ühikkuubis.

  1. Lõigu DC1 projektsiooni pikkus tahul ABB1A1 on .
  2. Lõigu DC1 projektsiooni pikkus tahul ABCD on .
  3. Lõigu DC1 projektsiooni pikkus tahul ADD1A1 on .

Näide

Lõigu AC projektsioon sirgel BC on OC. Külgtahu apoteemi  AB  projektsioon püramiidi põhitasandil OB

Nurga suurus

Tasandigeomeetria

  • Kui suur on nurk kahe lõigu vahel?

Ruumigeomeetria

Kui suur on nurk

  • kiivsirgete vahel, 
  • lõigu ja tasandi vahel,
  • kahe lõikuva tasandi vahel?
  1. Nurk lõikude AB ja BC vahel on °.
  2. Nurk lõikude BC ja CD vahel on °.
  3. Nurk lõikude AB ja DC vahel on °. 
  1. Võrdsed nurgad on tipu B ja   juures.
  2. B2 ja  on kokku 90°.
  3. Kiivsirged on 
  4. Nurk BD1 ja tasandi ABCD vahel on °.
  5. Kuubi diagonaallõige AA1C1C on risti iga kuubi tahuga.   

Näide

Lõiketasandi (kollane) ja prisma külgtahu vaheline nurk

Harjuta ja treeni

Märka

Lõigu otspunkt paikneb tasandil
Lõigu otspunktid on samal pool tasandit, kuid ei paikne tasandil
Lõigu otspunktid on teine teisel pool tasandit ega paikne tasandil
  1. Väljaspool tasandit asuvast punktist A on tasandini tõmmatud kaldlõik pikkusega 8. Leia punkti A kaugus tasandist, kui nurk lõigu ja tasandi vahel on 30°.
    Vastus. Punkti kaugus tasandist on .
  2. Väljaspool tasandit asuvast punktist B on tasandini tõmmatud kaldlõik pikkusega 6. Leia punkti B kauguse ruut tasandist, kui nurk lõigu ja tasandi vahel on 60°.
    Vastus. Kauguse ruut tasandist on .

Sirglõigu, mille pikkus on 17,  otspunktide kaugus tasandist on 16 ja 24. Leia lõigu projektsiooni pikkus tasandil.
Vastus. Kui lõigu otspunktid asuvad samal pool tasandit, siis projektsiooni pikkus on . Kui lõigu otspunktid asuvad teine teisel pool tasandit, kusjuures üks tasandist 2 ja teine 6 ühiku kaugusel, siis projektsiooni pikkus on .

Sirglõik pikkusega 65 paikneb ühel pool tasandit. Lõigu otspunktide kaugus tasandist on 5 ja 21. Leia lõigu projektsiooni pikkus tasandil. Leia nurk lõigu ja tasandi vahel.
Vastus. Lõigu projektsiooni pikkus on   ja nurk on °.

Sirglõik pikkusega 65 paikneb ühel pool tasandit. Lõigu otspunktide kaugus tasandist on 5 ja 21. Arvuta projektsiooni pikkus ja nurk, kui tasandit nihutada 10 ühikut ülespoole ja lõigu otspunktid asuvad teine teisel pool tasandit.
Vastus. Lõigu projektsiooni pikkus on     ja nurk on °.

Lõigu projektsiooni pikkus tasandil ning nurk lõigu ja projektsiooni vahel  sellest, kummal pool tasandit paiknevad lõigu otspunktid.

  1. Kui muuta lõigu pikkust ja jätta samaks lõigu otspunktide kaugused tasandist, siis lõigu keskpunkti kaugus tasandist 
  2. Kui pikendada lõiku üle otspunktide võrdselt ja jätta kaldenurk samaks, siis lõigu keskpunkti kaugus tasandist 
  3. Lõigu üks otspunkt on fikseeritud. Kui siis muuta lõigu kaldenurka ja jätta lõigu pikkus samaks, siis lõigu keskpunkti kaugus tasandist 

Märka

Nurk kiivsirgete vahel – nurk ühe antud sirge ja sellise temaga lõikuva sirge vahel, mis on paralleelne teisega antud sirgetest.

Kuup ABCDA1B1C1D1

Nurk AB ja CC1 vahel

  • 30°
  • 45°
  • 35°15′
  • 39°14′
  • 54°45′
  • 60°
  • 90°
  • 90°26´
Kuup ABCDA1B1C1D1

Nurk AA1 ja CD1 vahel

  • 30°
  • 45°
  • 35°15′
  • 39°14´
  • 54°45′
  • 60°
  • 90°
  • 90°26′
Abiks õpetajale
Kui on teada kolmnurga kolme külje pikkused, siis on nurgad üheselt määratud. Kolmnurk ABC on võrdkülgne kolmnurk.
Kuup ABCDA1B1C1D1

Nurk AB1 ja DA1 vahel

  • 30°.
  • 45°.
  • 35°15′.
  • 39°14′.
  • 54°45′.
  • 60°.
  • 90°.
  • 90°26′.
Abiks õpetajale
Kui on teada kolmnurga kolme külje pikkused, siis on nurgad üheselt määratud.
Kolmnurk ACC₁ on täisnurkne kolmnurk külgedega 
3 1  ja  2 .
Täisnurgas saab veenduda Pythagorase teoreemi abil.
Kuup ABCDA1B1C1D1

Nurk CA1 ja DD1 vahel

  • 30°.
  • 45°.
  • 35°15′.
  • 39°14′.
  • 54°44′.
  • 60°.
  • 90°.
  • 90°26′.
Abiks õpetajale
Kui on teada kolmnurga kolme külje pikkused, siis on kolmnurga nurgad üheselt määratud. 

Nurk kiivsirgete vahel on nurk ühe antud sirge ja sellise temaga lõikuva sirge vahel, mis on paralleelne teisega antud sirgetest.

Diagonaali otspunkti C1 saab viia punkti A1. Kolmnurk „väljub“ kuubist.
Kolmnurk on täisnurkne külgedega 
3 2 5 .
Kuup ABCDA1B1C1D1

Nurk CA1 ja BC1 vahel

  • 30°.
  • 45°.
  • 35°15′.
  • 39°14′.
  • 54°45′.
  • 60°.
  • 90°.
  • 90°26′.

Midagi tuttavat

Ülesanded, kus vaadeldakse lõikude asetust püramiidis.

Palun oota