Peatükk 1.1 (GLM Vektor ruumis. Sirge ja tasand ruumis)

Punkti koordinaadid ruumis

  • Koordinaatteljed
  • Punkti kirjeldamine koordinaatide abil
  • Kahe punkti vaheline kaugus

Punkt ruumis

Kui tahame määrata punkti koordinaate kolmemõõtmelises ruumis, peame lisama kahele olemasolevale teljele veel kolmanda. Seda telge nimetatakse aplikaatteljeks ehk z-teljeks.

Punkti P z-koordinaadiks on selle ristprojektsioon z1 z- teljel.

Seega saame koordinaadid

P(x1; y1; z1) ja P´(x1; y1; 0), kui projekteerime punkti xy-tasandile.

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis
​P(x1, y1, z1)

Märka

Tasandeid, millel asuvad kaks koordinaattelge kolmest, nimetatakse koordinaattasanditeks. Need on xy-tasand, xz-tasand ja yz-tasand.

  • Kui punkti z-koordinaat on null, siis asub see punkt xy-tasandilP(x1; y1; 0).
  • Kui punkti y-koordinaat on null, siis asub see punkt xz-tasandilP(x1; 0; z1).
  • Kui punkti x-koordinaat on null, siis asub see punkt yz-tasandilP(0; y1; z1).

Kui tahame leida punkti projektsioone telgedel, peame võrdsustama kaks koordinaati nulliga. Punkti P(x1; y1; z1) projektsioon x-teljel on Q´(x1; 0; 0), projektsioon y-teljel on Q″(0; y1; 0) ja projektsioon z-teljel Q‴(0; 0; z1).

  • P(2; 3; 0) asub .
  • P(–1; 0; 3) asub .
  • P(0; –3; –2) asub .
  • P(2; 0; 0) asub .
  • P(0; –1; 0) asub .
  • P(0; 0; 5) asub .

Näide

Punkti asukoha kirjeldamine ruumis ​P(x1, y1, z1)
Koordinaattasandid jaotavad ruumi kaheksaks oktandiks

Punktide vaheline kaugus

Vaatleme kahte punkti

P(x1y1; z1) ja Q(x2; y2; z2 ).

Leiame nendevahelise kauguse.

Projekteerime mõlemad punktid xy-tasandile, saame punktid:

P′(x1; y1; 0),  Q′(x2; y2; 0).

Nende punktide vaheline kaugus d1 järeldub Pythagorase teoreemist ja on

d1=x1-x22+y1-y22  = 

=   x2+y2

kus Δx ja Δy on koordinaatide muudud.

Tasandil, millel asuvad punktid P, Q, P′ ja Q′, on täisnurkne kolmnurk PQR, mille kaatetiteks on d1 ja z=z1-z2  ning hüpotenuusiks otsitav kaugus d. Pythagorase teoreemi järgi leiame

d=d12+z2  =   x2+y2+z2   ehk

d=x1-x22+y1-y22+z1-z22 .

Kahe punkti, P(x1; y1; z1) ja Q(x2; y2; z2 ), vaheline kaugus d.

d=x1-x22+y1-y22+z1-z22

Punktide projektsioonid on järgmised:

1)  

A′(–3; –1; 0), B′(1; –4; 0);

2)  

A″(–3; 0; 4), B″(1; 0; –8);

3)  

A‴(0; –1; 4), B‴(0; –4; –8).

Punktidevaheline kaugus on ruutjuur vastavate koordinaatide muutude ruutude summast.

d =  2+2+2 =

169=13

A(2; 0; 0), B(5; 0, 0), seega dAB.

M(2; 1; 0), N(5; –1, 0), seega dMN ≈ .

S(2; 1; –4), T(5; –1, 1), seega dST ≈ .

O(0; 0; 0), K(–1; –1, –1), seega dMN ≈ .

O(0; 0; 0), L(2; 2, z),  dOL = 23 ,  seega

z1< z2 =.

U(0; 1; z), H(1; 1, 1),  dUV = 2 ,  seega

z1< z2 =.

Harjuta ja treeni

  • (0; 0; 0)
  • (2; 0; 0)
  • (0, 2; 0)
  • (0; 0; 2)
  • (2; 3; 0)
  • (3; 2; 0)
  • (0; 3; 0)
  • (0; 3; 2)
  • (0; 3; 4)
  • (3; 4; 0)
  • (0; 0; 4)
  • (2; 0; 4)
  • (2; 4; 0)
  • (2; 3; 4)
  • (3; 2; 4)
  • (4; 2; 3)
  • (2; 4; 3)
  • √13
  • √29
  • √20
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

AC = 

HG =

BD = 

DF = 

BG = 

AG =

1) z-teljel punkt  

  • B(0; 0; 5);
  • B(0; 0; 25);
  • B(5; 0; 5);
  • B(–120; 0; 5);
  • B(220; 0; 5 );
  • B(2–15; 0; 5);

2) xy-tasandil võrdne lõigu pikkusega 

  • B(0; 0; 5);
  • B(2; 4, 5).;
  • B(12; –15; 0);
  • B(–10; –1; 5);
  • B((–2)7; 8; 5);
  • B(90; 68; –5);

3) yz-tasandil võrdne lõigu pikkusega 

  • B(2; 0; 0).
  • B(2; 4, 5).
  • B(2; –1; 0).
  • B(–10; 2; 5).
  • B(2; 210; 100).
  • B(9; –6; 2).

1)

A(–2; –5; 3) ja B(3; 1; 4)?

Vastus. Kõrgus h .

2)

A(–2; –5; 3) ja B(2; –3; 2)?

Vastus. Kõrgus h .

A(–2; –5; 3) ja B(3; 1; 4)

Punkt tasandil, punkt ruumis 

  • P(2; –3)
  • (1-2)2+(1-(-3))2
  • P(1; 2; –3 )
  • (1-1)2+(1-2)2+(1-(-3))2

Punkt tasandil 

Punkt ruumis 

Punkti P ja Q(1; 1) vaheline kaugus tasandil

Punkti P ja Q(1; 1; 1) vaheline kaugus ruumis

  • P(x; y; z) asub x-teljel, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
  • P(x; y; z) asub y-teljel, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
  • P(x; y; z) asub z-teljel, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
  • P(x; y; z) asub xy-tasandil, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
  • P(x; y; z) asub yz-tasandil, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
  • P(x; y; z) asub xz-tasandil, siis
  • x = 0
  • y = 0
  • z = 0
Palun oota