Nurk vektorite vahel. Vektorite kollineaarsus ja ristseis

Olgu antud vektorid \vec{a}=\left(X_1;\ Y_1;\ Z_1\right) ja \vec{b}=\left(X_2;\ Y_2;\ Z_2\right), kus \vec{a}\ne\vec{0} ja \vec{b}\ne\vec{0}.Nende vektorite vahelise nurga leidmiseks avaldame valemist \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\vec{\left|b\right|}\cos\mathrm{\alpha} suuruse cos α:\cos\mathrm{\alpha}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\vec{\left|b\right|}}.Kirjutades saadud seoses esinevad korrutised koordinaatkujul, saame valemi\cos\mathrm{\alpha}=\frac{X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2}{\sqrt{X_1^2+Y_1^2+Z_1^2}\sqrt{X_2^2+Y_2^2+Z_2^2}}.Vektorite \vec{a} ja \vec{b} vahelist nurka tähistatakse ka kujul \angle\left(\vec{a},\ \vec{b}\right).Vektorite \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk võib olla 0°, teravnurk, täisnurk, nürinurk või sirgnurk.Juhul, kui avaldis X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ on

positiivne, siis ka cos α > 0 ja 0° ≤ α < 90°;
negatiivne, siis ka cos α < 0 ja 90° < α ≤180°;
null, siis ka cos α = 0 ja α = 90°.

Nii nagu tasandil, nii on ka ruumis\vec{a}\ \perp\ \vec{b}\ \Leftrightarrow\ \vec{a}\cdot\vec{b}=0. Seega

vektorid $\vec{a}$ ja $\vec{b}$ on risti siis ja ainult siis, kui X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ = 0.

Öeldu kehtib ka juhul, kui üks vektoritest on nullvektor: nullvektor on risti iga vektoriga, samas on nullvektori ja suvalise vektori skalaarkorrutis 0.

Tuletame nüüd vektorite \vec{a} ja \vec{b} kollineaarsuse tunnuse koordinaatkujul.

TEOREEM. Vektorid $\vec{a} = (X_{1}; Y_{1}; Z_{1})$ ja $\vec{b} = (X_{2}; Y_{2}; Z_{2})$ on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t $\frac{X_{1}}{X_{2}} = \frac{Y_{1}}{Y_{2}} = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ .

Tõestus

Eeldame esmalt, et vektorid \vec{a} ja \vec{b} on kollineaarsed. See tähendab, et üks nendest vektoritest on teise kaudu avalduv kujul \vec{a}=r\vec{b}. Kui üks vektoritest on nullvektor, siis on just see teise kaudu avalduv. Näiteks, kui \vec{a}=\vec{0}, siis \vec{a}=0\cdot\vec{b}. Olgu \vec{a}=r\vec{b}, kus r ∈ R. Viimasest võrdusest järeldub vektorite \vec{a} ja r\vec{b} vastavate koordinaatide võrdsus:X_1=rX_2; Y_1=rY_2 ja Z_1=rZ_2 ehk \frac{X_1}{X_2}=\frac{Y_1}{Y_2}=\frac{Z_1}{Z_2}=r.Eeldame nüüd, et vektorite \vec{a} ja \vec{b} koordinaadid on võrdelised, s.t \frac{X_1}{X_2}=\frac{Y_1}{Y_2}=\frac{Z_1}{Z_2}=r.Avaldades antud võrduste ahelast vektori \vec{a} koordinaadid, saame X_1=rX_2; Y_1=rY_2 ja Z_1=rZ_2, millest \vec{a}=r\vec{b}. See aga tähendabki, et \vec{a}\ \parallel\ \vec{b}. ♦

Märkus. Kui võrreldavatest vektoritest ühel on mingi koordinaat null (s.t ta on risti vastava koordinaatteljega), siis on vastav koordinaat null ka teisel vektoril. Kui kahest kollineaarsest vektorist üks on risti mingi koordinaatteljega, siis peab seda ju olema ka teine.

Näide 1. Risttahuka A…H (joon. 2.45) servad DA = 3 cm, DC = 4 cm ja DH = 5 cm. Arvutame selle risttahuka diagonaalide DF ja BH vahelise nurga α.

Joon. 2.45

Otsitud nurk ühtib vektorite \overrightarrow{DF} ja \overrightarrow{BH} vahelise nurgaga. Viimase leidmiseks konstrueerime koordinaatteljestiku, mille alguspunktiks on risttahuka tipp D ning ühikvektoriteks vektoritega \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC} ja \overrightarrow{DH} samasuunalised vektorid \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} (joon. 2.45).Avaldame seejärel vektorite \overrightarrow{DF} ja \overrightarrow{BH} koordinaadid, pikkused ja skalaarkorrutise. Lõpuks, kasutades vektoritevahelise nurga arvutamise valemit, leiame otsitud nurga.\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF} = 3\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k} ehk \overrightarrow{DF}=\left(3;\ 4;\ 5\right).\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH} = -4\vec{j}+\left(-3\right)\vec{i}+5\vec{k} = -3\vec{i}-4\vec{j}+5\vec{k} ehk \overrightarrow{BH}=\left(-3;\ -4;\ 5\right).

\left|\overrightarrow{DF}\right| = \sqrt{3^2+4^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ \left(\mathrm{cm}\right).\left|\overrightarrow{BH}\right| = \sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-4\right)^2+5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\ \left(\mathrm{cm}\right).\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BH} = 3\cdot\left(-3\right)+4\cdot\left(-4\right)+5\cdot5 = 0.\cos\mathrm{\alpha} = \frac{\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{BH}}{\left|\overrightarrow{DF}\right|\cdot\left|\overrightarrow{BH}\right|} = \frac{0}{5\sqrt{2}\cdot5\sqrt{2}} = 0, millest näeme, et α = 90°.Vastus. Risttahuka diagonaalid DF ja BH on risti.

Näide 2. Leiame parameetri m väärtused, mille korral vektorid \vec{a}=\left(0;\ m;\ m+2\right) ja \vec{b}=\left(m+1;\ 3;\ 2m-1\right) on kollineaarsed.Vektorid \vec{a} ja \vec{b} on kollineaarsed vaid siis, kui üks neist on nullvektor või kui\frac{0}{m+1}=\frac{m}{3}=\frac{m+2}{2m-1}.Vektorid \vec{a} ja \vec{b} ei saa kumbki olla nullvektorid, kuna puuduvad parameetri m sellised väärtused, mille korral nende koordinaadid on nullid.Seega jääb üle vaid võimalus, et\frac{0}{m+1}=\frac{m}{3}=\frac{m+2}{2m-1}.Et vektori \vec{a} esimene koordinaat on 0 (kuidas paikneb teljestikus vektor \vec{a}?), siis peab seda olema ka vektori \vec{b} esimene koordinaat. Järelikult m + 1 = 0, millest m = –1.Kontrollime nüüd, kas saadud m väärtus rahuldab ka võrduste ahela teist võrdust. Et \frac{-1}{3}=\frac{-1+2}{2\cdot\left(-1\right)-1}, siis võime öelda, et m = –1 korral on antud vektorid kollineaarsed.Vastus. Vektorid \vec{a} ja \vec{b} on kollineaarsed, kui m = –1.

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 517. Kollineaarsed vektorid

$\vec{a} = (2; 4; 1)$ ja $\vec{b} = (1; 2; 0,5)$
$\vec{a} = (4; 6; - 2)$ ja $\vec{b} = (- 2; - 3; - 1)$
$\vec{a} = (6; 4; 0)$ ja $\vec{b} = (3; 2; 1)$
$\vec{a} = (0; 4; 1)$ ja $\vec{b} = (0; 2; 0,5)$
$\vec{a} = (0; 4; 0)$ ja $\vec{b} = (0; 5; 0)$
$\vec{a} = (0; 0; 0)$ ja $\vec{b} = (12; - 2; 5)$

Ülesanne 518. Kollineaarsed vektorid

Antud vektor	Kollineaarsed vektorid
\vec{a}=\left(-1;\ 3;\ -6\right)
\vec{a}=\left(-2;\ 0;\ 3\right)
\vec{a}=\left(0;\ 0;\ -3\right)

Antud vektor	Kollineaarsed vektorid
\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}
\vec{a}=-2\vec{k}+3\vec{j}
\vec{a}=-2\vec{k}

Ülesanne 519. Kollineaarsed vektorid

Leidke vektoriga \vec{v}=\left(-2;\ 5;\ \sqrt{7}\right) kollineaarse ühikvektori \vec{v_0} koordinaadid.

Vastus. \vec{v_0} =

Ülesanne 520. Vektorite vaheline nurk

Leidke vektorite \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk, kui

\vec{a}=\left(-3;\ 1;\ 2\right) ja \vec{b}=\left(0;\ 3;\ 5\right).

Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .

Leidke vektorite \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk, kui

\vec{a}=\left(1;\ 1;\ -4\right) ja \vec{b}=\left(-1;\ 2;\ -2\right).

Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .

Leidke vektorite \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk, kui

\vec{a}=-3\vec{i}+7\vec{j}+5\vec{k} ja \vec{b}=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}.

Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .

Leidke vektorite \vec{a} ja \vec{b} vaheline nurk, kui

\vec{a}=3\vec{i}-\vec{k} ja \vec{b}=-2\vec{i}-\vec{k}.

Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .

Ülesanne 521. Vektorite vaheline nurk

Leidke nurgad vektori \vec{a} ja vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} vahel.

\vec{a}=\left(1;\ -2;\ -1\right)

Vastus. \angle\left(\vec{a},\ \vec{i}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{j}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{k}\right) = .

Leidke nurgad vektori \vec{a} ja vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} vahel.

\vec{a}=\left(6;\ -2;\ 3\right)

Vastus. \angle\left(\vec{a},\ \vec{i}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{j}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{k}\right) = .

Leidke nurgad vektori \vec{a} ja vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} vahel.

\vec{a}=12\vec{i}-15\vec{j}-16\vec{k}

Vastus. \angle\left(\vec{a},\ \vec{i}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{j}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{k}\right) = .

Leidke nurgad vektori \vec{a} ja vektorite \vec{i}, \vec{j} ja \vec{k} vahel.

\vec{a}=-\vec{i}+3\vec{k}

Vastus. \angle\left(\vec{a},\ \vec{i}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{j}\right) = , \angle\left(\vec{a},\ \vec{k}\right) = .

Ülesanne 522. Punkti kohavektori ja koordinaattelgede vahelised nurgad

Vastus. Antud punkti kohavektori ja x-telje vaheline nurk on , y-telje vaheline nurk on ja z-telje vaheline nurk on .

Ülesanne 523. Vektorite vaheline nurk

Antud on vektorid \vec{a}=\left(-3;\ 1;\ -1\right) ja \vec{b}=\left(0;\ 3;\ 4\right). Leidke nurk vektorite 2\vec{a}-3\vec{b} ja 2\vec{a}+3\vec{b} vahel.

Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .

Ülesanne 524. Rööpküliku välisnurk

Vektorid \vec{a}=\left(-1;\ 1;\ 3\right) ja \vec{b}=\left(-2;\ 3;\ 5\right) on rakendatud punkti A. Leidke nende vektoritega määratud rööpküliku tipu A juures olev välisnurk.

Vastus. Nende vektoritega määratud rööpküliku tipu A juures olev välisnurk on .

Ülesanne 525. Kolmnurga sisenurgad

Leidke vektoritega \vec{a}=\left(1;\ 2;\ -1\right) ja \vec{b}=\left(3;\ 2;\ -5\right) määratud kolmnurga sisenurgad.

Vastus. Selle kolmnurga sisenurgad on (kasvavalt) , ja .

Ülesanne 526. Ristuvad vektorid

Antud vektor	Ristuvad vektorid
\vec{a}=\left(-2;\ 0;\ 0\right)	,
\vec{a}=\left(0;\ 2;\ -1\right)	,
\vec{a}=\left(2;\ -1;\ 4\right)	,

Ülesanne 527. Ristuvad vektorid

\vec{a}=\left(-1;\ 0;\ 4\right) ja \vec{b}=\left(0;\ -1;\ -5\right)

Vastus. Antud vektoritega on risti ja .

\vec{a}=\left(-1;\ 3;\ 4\right) ja \vec{b}=\left(1;\ -2;\ -5\right)

Vastus. Antud vektoritega on risti ja .

Ülesanne 528. Rööpküliku diagonaalid

Leidke parameetri m väärtus, mille korral vektoritega \vec{a}=\left(1;\ -2;\ 3\right) ja \vec{b}=\left(2;\ m;\ -1\right) määratud rööpküliku diagonaalid on risti.

Vastus. m = või m =

Ülesanne 529. Ruudu diagonaalid

Kas vektorid \vec{a}=\left(2;\ m;\ m+1\right) ja \vec{b}=\left(1;\ 2;\ m\right) võivad määrata mingi ruudu diagonaalid?

Vastus. Need vektorid määrata ruudu diagonaalid.

Ülesanne 530. Vektorite vaheline nurk

Leidke vektori \vec{a}=\left(-2;\ 4;\ -4\right) ja koordinaattelgede vahelised nurgad.

Vastus. Selle vektori ja x-telje vaheline nurk on , y-telje vaheline nurk on ja z-telje vaheline nurk on .

Arvutage leitud nurkade koosinuste ruutude summa.
Vastus. Nende nurkade koosinuste ruutude summa on .
Tehke sama ülesandes 521 leitud nurkade korral. Mis selgub?
Üldistage saadud tulemus ja tõestage see.
Milline on vastav seos, kui tegemist on vektoriga tasandil? Tõestage ka see.

Ülesanne 531. Risttahuka diagonaalid

Vektoritele \vec{a}=\overrightarrow{DA}, \vec{b}=\overrightarrow{DC} ja \vec{c}=\overrightarrow{DH} on konstrueeritud risttahukas (joon. 2.46).

Joon. 2.46

Millist tingimust peavad rahuldama antud vektorite pikkused, et risttahuka diagonaalid BH ja CE oleksid risti?
Vastus. Need peavad rahuldama tingimust .

Millise nurga all lõikuvad kuubi diagonaalid?
Vastus. Kuubi diagonaalide vaheline nurk on .
Kas leidub risttahukat, mille iga kaks diagonaali on risti?
Vastus. Selline risttahukas .

Ülesanne 532. Tehted vektoritega ruumis

Tõestage, et vektoritega \vec{a} ja \vec{b} määratud rööpküliku pindala S on arvutatav valemiga S=\sqrt{\vec{a}^2\vec{b}^2-\left(\vec{a}\vec{b}\right)^2}.

Kolmnurkne püramiid on määratud vektoritega \vec{a}=\left(1;\ -5;\ 0\right), \vec{b}=\left(2;\ -2;\ -4\right) ja \vec{c}=\left(2;\ 1;\ 3\right). Arvutage selle püramiidi täispindala.

Vastus. S_t =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Nurk vektorite vahel. Vektorite kollineaarsus ja ristseis

Tõestus

Seotud sisu

Ülesanded B

Ülesanne 517. Kollineaarsed vektorid

Ülesanne 518. Kollineaarsed vektorid

Ülesanne 519. Kollineaarsed vektorid

Ülesanne 520. Vektorite vaheline nurk

Ülesanne 521. Vektorite vaheline nurk

Ülesanne 522. Punkti koha­vektori ja koordinaat­telgede vahelised nurgad

Ülesanne 523. Vektorite vaheline nurk

Ülesanne 524. Rööp­küliku välis­nurk

Ülesanne 525. Kolm­nurga sise­nurgad

Ülesanne 526. Ristuvad vektorid

Ülesanne 527. Ristuvad vektorid

Ülesanne 528. Rööp­küliku diagonaalid

Ülesanne 529. Ruudu diagonaalid

Ülesanne 530. Vektorite vaheline nurk

Ülesanne 531. Rist­tahuka diagonaalid

Ülesanne 532. Tehted vektoritega ruumis

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Ülesanne 522. Punkti kohavektori ja koordinaattelgede vahelised nurgad

Ülesanne 524. Rööpküliku välisnurk

Ülesanne 525. Kolmnurga sisenurgad

Ülesanne 528. Rööpküliku diagonaalid

Ülesanne 531. Risttahuka diagonaalid