Arv­jada mõiste

Näide 1.

Ants joonistab arvuti­ekraanile mustrit ühise tipuga ruutudest, mille külje­pikkusteks on järjestikused naturaal­arvud alates 1-st (joonis 2.1). Kuue esimese ruudu pindalad koos ruudu järje­numbriga on järgmised:

Ruutude joonistamist võib jätkata ja ühtlasi leida, milline on igal uuel sammul joonistatud ruudu pindala. Näiteks 12-nda ruudu pindala on 144, 20-nda ruudu pindala 400 jne, üldiselt n-nda ruudu pindala on n2.

Joon. 2.1

Näites 1 tekkis järje­numbritega (indeksitega) varustatud arvude hulk ehk arv­jada. Selle arv­jada elementideks on ruutude pindalad: esimene element on 12 = 1, teine element 22 = 4, kolmas element 32 = 9, n-es element n2.

Kui igale naturaal­arvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an, siis saadakse arv­jada.

Tavaliselt kasutatakse nimetuse „arv­jada” asemel lihtsalt nimetust „jada”. Arvud a1, a2, a3, …, an, … on jada elemendid ehk jada liikmed. Liikmele an järgnevad liikmed on an+1, an+2, an+3 jne. Liikmele an eelnevad liikmed on an–1, an–2, an–3 jne. Iga liikme indeks näitab, mitmenda liikmega jadast on tegemist.

Lühemalt võib jada a1, a2, a3, …, an, … tähistada sümboliga (an) või {an}. Jada definitsioonist nähtub, et jadal on lõpmata palju liikmeid ja et jada igal liikmel on kindel järje­number.

Jada suvalisele indeksile n vastavat liiget an nimetatakse jada üld­liikmeks. Edas­pidi vaatleme ees­kätt nii­suguseid jadasid, mille üld­liiget saab esitada mingi valemiga. Üld­liikme valem näitab, kuidas jada mis tahes liige avaldub selle liikme järje­numbri n kaudu. Näites 1 esitatud jada üld­liikme valem on an = n2.

Paljudel juhtudel ei ole võimalik jada üld­liiget esitada valemiga. Selline on näiteks alg­arvude jada 2; 3; 5; 7; 11; 13; … .

Jada liikmeid võib graafiliselt esitada punktidena arv­teljel (jada an = 2n + 1 liikmed joonisel 2.2a) või koordinaat­tasandil (jada a_n=\frac{2n-1}{n} liikmed joonisel 2.2b).

Joon. 2.2a
Joon. 2.2b

Viimasel juhul kantakse x-teljele jada liikmete järje­numbrid ja y-teljele jada liikmete väärtused.

Kui jada iga järgnev liige on suurem kui eelmine, siis nimetatakse jada kasvavaks. Vaadeldud jadad an = 2n + 1 ja a_n=\frac{2n-1}{n} on kasvavad. Kui jada iga järgnev liige on väiksem eelmisest, on tegemist kahaneva jadaga.

Mõni­kord pole jada üld­liige antud mitte liikme järje­numbri, vaid jada eelnevate liikmete kaudu. Sel juhul öeldakse, et jada on antud rekurrentse seosega. Näiteks rekurrentse seosega antud jadas a1 = 1, an+1 = 3an + 1 on a2 = 3a1 + 1 = 3 · 1 + 1 = 4, a3 = 3a2 + 1 = 3 · 4 + 1 = 13 jne.

Näide 2.

Kolmega jaguvate positiivsete arvude jada on 3; 6; 9; …; 3n; … . Antud jadas a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9 jne, üld­liige an = 3n.

Näide 3.

On antud jada (an) üld­liikmega a_n=\frac{1}{n+1}. Leiame selle jada 5 esimest liiget. Selleks asendame üld­liikme valemisse n asemele 1; 2; …; 5 ja saame

a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, a_3=\frac{3}{4}, a_4=\frac{4}{5}, a_5=\frac{5}{6}.

More like this
More options

Ülesanded A

Ülesanne 272. Jada 10., 15. ja 35. liige

2; 5; 8; 11; …; 3n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 5; 7; …; 2n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 27; …; 3n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 19; …; 1 + 2(n – 1)2; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 16; …; 8n+\frac{12}{n}-19; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

2; 5; 10; 17; …; n2 + 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

Ülesanne 273. Jada liikmed a6, a7, a8

Vastus. a6 = , a7 = , a8 = 

Ülesanne 274. Jada viis esimest liiget

a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=2n+1.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=n\left(1-2^n\right).

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=2\left(1+n\right)^2-3.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

Ülesanne 275. Jada üld­liikmele eelnevad ja järgnev liige

Jada üld­liige on a_n=\frac{2n+5}{n-8}. Leidke liikmed a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n+1}.

a_{n-2} =  = 

a_{n-1} =  = 

a_{n+1} =  = 

Ülesanne 276. Jada 4 esimest liiget ja üld­liige

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Ülesanne 277. Mitmes liige?

Mitmes liige on arv 1,75 jadas, mille üld­liige on a_n=\frac{2n}{n+1}?

Vastus. Arv 1,75 on selles jadas  liige.

Ülesanne 278. Kujundite jada
Joon. 2.3

Vastus. 4. kujund koosneb  väikesest kolm­nurgast ja 7. kujund koosneb  väikesest kolm­nurgast. a_n = 

Ülesanne 279. Mitmes liige?

Jada üld­liige on \frac{3-4n}{n^2+5}. Mitmes liige jadas on antud arv?

Antud arv

Mitmes liige?

-\frac{41}{126}

-\frac{17}{30}

-\frac{37}{105}

-\frac{65}{294}

More like this
More options

Ülesanded B

Ülesanne 280. Indeks, millest alates jada liikmed on negatiivsed

an = 25 – 12n

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

an = –5n2 + 35n + 39

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

an = –2(n – 12,5)(n + 7)

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

a_n=\frac{18-5n}{3n+17}

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

Ülesanne 281.I ndeks, millest alates jada liikmed on suuremad kui 40

a_n=8n+7

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

a_n=3n^2-26n

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

a_n=\frac{n+2}{n+3}

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

Ülesanne 282. Jada viies ja kuues liige ning üld­liige

4; 5; 6; 7; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

–2; –4; –6; –8; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

1; –1; 1; –1; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

\frac{1}{2}; \frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

–2; 4; –6; 8; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

\frac{2}{3}; \frac{5}{6}; \frac{8}{9}; \frac{11}{12}; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

Ülesanne 283. Summa arvutamine
  1. Leidke esmalt järgmised summad:
    1. 2 + 6 = 
    2. 2 + 6 + 10 = 
    3. 2 + 6 + 10 + 14 = 
    4. 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 
  2. Püstitage hüpotees summa kohta ja kontrollige selle tõesust mõnede n väärtuste korral. Pange seos kirja valemina.
Ülesanne 284. Rekurrentse seosega esitatud jada 5 esimest liiget

a1 = 2, an+1 = an – 5

Vastus. Selle jada 5 esimest liiget on , , , , .

a1 = 1, a_{n+1}=\frac{a_n}{2}

Vastus. Selle jada 5 esimest liiget on , , , , .

a1 = 4, an+1 = an2 – 1

Vastus. Selle jada 5 esimest liiget on , , , , .

a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an

Vastus. Selle jada 5 esimest liiget on , , , , .

Ülesanne 285. Jada 1997.-nes liige

Leidke a1997, kui a1 = 2, a2 = 3, a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}.

Vastus. a1997 = 

Ülesanne 286. Kasvav jada

On antud jada üld­liikmega a_n=\frac{2n-2}{n+1}. Näidake, et selle jada iga järgnev liige on suurem kui eelmine liige (ehk et see jada on kasvav).

Ülesanne 287. Fibonacci jada

Arv­jada, milles a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an, nimetatakse Fibonacci jadaks.

  1. Kirjutage välja Fibonacci jada 15 esimest liiget.
    Vastus. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ...
  2. Leidke summad a1 + a2, a1 + a2 + a3, a1 + a2 + a3 + a4, …, a1 + a2 + … + a8.
    Vastus. a_1+a_2 = ; a_1+a_2+a_3 = ; a_1+a_2+a_3+a_4 = ; a_1+a_2+...+a_5 = ; a_1+a_2+...+a_6 = ; a_1+a_2+...+a_7 = ; a_1+a_2+...+a_8 = .
  3. Näidake, et Fibonacci jadas kehtib seos a1 + a2 + a3 + … + an = an+2 – 1.
Vihje
Avaldage iga liige alates teisest kahe järgneva liikme kaudu ja leidke siis tõestatava võrduse vasakul pool olev summa.
  1. Leidke Fibonacci jadas 3-ga jaguvad liikmed. Kuidas paiknevad need liikmed jadas? Esitage nende liikmete üld­kuju.
More like this
More options