Aritmeetiline jada

Ülesanne 288. Jada üld­liige

1; 3; 5; 7; 9; ; ; …

12; 8; 4; 0; –4; ; ; …

–2; –5; –8; –11; –14; ; ; …

\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}; ; ; …

  1. Leidke neis seadus­pärasused ja jätkake antud jadasid kahe liikme võrra.
  2. Mida ühist märkate antud jadades, võrreldes järjestikuseid liikmeid?
  3. Esitage iga jada üld­liige valemiga. Võrrelge neid.

1; 3; 5; 7; 9; …

a_n = 

12; 8; 4; 0; –4; …

a_n = 

–2; –5; –8; –11; –14; …

a_n = 

\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}; …

a_n = 

Jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks.

Konstantset arvu an – an–1 nimetatakse aritmeetilise jada vaheks ja tähistatakse tähega d. Seega aritmeetilises jadas an = an–1 + d iga n > 1 korral.

Näide.

Jada 7; 12; 17; 22; …; 5n + 2; … on aritmeetiline jada, sest 12 – 7 = 17 – 12 = 22 – 17 = … = 5. Selle jada vahe d = 5.

Jada 2; 6; 18; 54; … ei ole aritmeetiline jada, sest 6 – 2 ≠ 18 – 6 ≠ 54 – 18.

Kui a1 = 1 ja d = 1, saame aritmeetilise jada 1; 2; 3; 4; …; n; … .

Kui a1 = 3 ja d = 0, saame aritmeetilise jada 3; 3; 3; … . See on konstantne jada.

Kui jada vahe d > 0, siis on aritmeetiline jada kasvav; kui d < 0, siis on tegemist kahaneva jadaga.

Seotud sisu
Muud tegevused

Aritmeetilise jada üld­liige

Kui on teada aritmeetilise jada esimene liige a1 ja jada vahe d, siis on võimalik leida jada mis tahes liiget:

a2 = a1 + d;
​a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d;
​a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d;
​ehk üldiselt an = a1 + (n – 1)d.

Aritmeetilise jada (an) üld­liige avaldub kujul an = a1 + (n – 1)d.

Näide 1.

Olgu aritmeetilises jadas teada a8 = 172 ja a1 = –3. Leiame aritmeetilise jada vahe d.

Et a8 = a1 + 7d, siis 7d = a8 – a1 = 172 + 3 = 175 ja d = 175 : 7 = 25.

Näide 2.

Leiame, mitmes liige on arv 100 aritmeetilises jadas, milles a1 = 2 ja d = 2.

Valemist an = a1 + (n – 1)d saame, et

n-1=\frac{a_n-a_1}{d}, n=\frac{a_n-a_1}{d}+1 = \frac{100-2}{2}+1 = 50.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 289. Aritmeetiline jada

Antud arvud

Kas on aritmeetiline jada?

Jada vahe

5; –1; –7; –13; …

  • Jah
  • Ei

d = 

\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; …

  • Jah
  • Ei

d = 

12; 4; \frac{4}{3}; \frac{4}{9}; …

  • Jah
  • Ei

d = 

2; 8; 14; 20; …

  • Jah
  • Ei

d = 

Ülesanne 290. Aritmeetiline jada

a1 = 3, d = 4

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a2 = 5, d = –2

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a1 = 0,8, d = –1,2

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a5 = –16, d = –3

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a3 = \frac{1}{3}, d = \frac{1}{3}

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a4 = 5\frac{3}{4}, d = 7\frac{1}{4}

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

Ülesanne 291. Aritmeetiline jada

1,5; 3; 4,5; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

15; 13; 11; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

–8; –6,5; –5; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

2; 4; 8; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

Ülesanne 292. Aritmeetiline jada

Jada nr

a1

d

n

an

1.

15

–3

10

2.

–21

4

25

3.

–9

11

21

4.

–8

15

–29

5.

23

–5

–22

6.

–16

3

20

Ülesanne 293. Funktsioonidega määratud jadad

1) y = –2x + 1

2) y = 1 – x2

3) y=\frac{x}{x+1}

4) y = 3(1 + x)

5) y=\frac{2}{x}

6) y = 4x + 1

  1. Esitage antud funktsioonidega määratud jadade 4 esimest liiget ja n-es liige. Selleks andke argumendile x järjestikuseid naturaal­arvulisi väärtusi 1; 2; 3; 4 ja n. Kandke liikmetele a1, a2, a3 ja a4 vastavad punktid koordinaat­tasandile.
  2. Missugused saadud jadadest on aritmeetilised jadad? Kuidas nimetatakse neid määravaid funktsioone?
    Vastus. Saadud jadadest on aritmeetilised jadad
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
  • 5)
  • 6)

Neid määravad .

  1. Kuidas avalduvad saadud aritmeetiliste jadade vahed esi­algse funktsiooni valemis olevate kordajate kaudu?
  2. Kas punktides 2 ja 3 leitu kehtib iga sellist liiki funktsiooni korral? Defineerige aritmeetiline jada vastava funktsiooni väärtuste jada kaudu.
Ülesanne 294. Kald­pinnal veerev keha

Vastus. Keha läbis 10. sekundiga  m.

Ülesanne 295. Jalg­rattur

Vastus. Jalg­rattur sõidab  h.

Ülesanne 296. Aritmeetiline jada

a3 = 60, a6 = 78

Vastus. a1 = ; d = .

a5 = 100, a10 = 50

Vastus. a1 = ; d = .

a1 + a2 = 19, a6 + a8 = 74

Vastus. a1 = ; d = .

a2 + a4 = 16, a1 · a5 = 28

Vastus. a1 = ; d =  või a1 = ; d = .

Ülesanne 297. Aritmeetiline jada

Vastus. Need arvud on , , , , , .

Ülesanne 298. Aritmeetiline jada

Vastus. Need arvud on , , , , , , .

Ülesanne 299. Tõestamine

  1. Uurige, kuidas on jada iga liige seotud oma kahe naaber­liikmega.
  2. Tõestage leitud seos.
  3. Millest võiks olla aritmeetiline jada saanud oma nimetuse?
Ülesanne 300. Aritmeetiline jada

Vastus. a6 + a8 = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 301. Tõestamine

Kui suur on kumera 21-nurga sise­nurkade summa?

Vastus. Kumera 21-nurga sise­nurkade summa on °.

Ülesanne 302. Tõestamine

Ülesanne 303. Aritmeetiline jada

Vastus. Antud tingimus on täidetud esimese  liikme korral.

Ülesanne 304. Aritmeetiline jada

Ülesanne 305. Aritmeetiline jada

Vihje
Vaadelge järjestikuste liikmete vahesid.
Ülesanne 306. Aritmeetiline jada

Seotud sisu
Muud tegevused

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Kui saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss (1777–1855) oli 9-aastane, andis õpetaja klassile ülesande: leida kõigi naturaal­arvude summa 1-st kuni 100-ni. Ta lootis, et õpilastel jätkub arvutamist terveks tunniks või kauemakski. Vaevalt oli õpetaja ülesande andnud, kui Gauss oma tahvli ülesande vastusega õpetajale ulatas. Kuidas jõudis ta nii kiiresti vastuseni?

Noore Gaussi poolt avastatud seadus­pärasus on paremini märgatav, kui arvud 1–100 esitada kahe osana: alumistes tulpades arvud 1–50 ja nende peal olevates tulpades arvud 51–100 (joonis 2.4). Näeme, et 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 101. Et selliseid summasid on kokku 50, on ülesande vastuseks 50 · 101 = 5050.

Joon. 2.4

TEOREEM. Kui võtta aritmeetilises jadas n järjestikust liiget, siis on selles jadas algusest ja lõpust võrdsel kaugusel seisvate liikmete summa jääv ning võrdub esimese ja viimase liikme summaga.

Tõestus.

Olgu antud aritmeetilise jada (an) n järjestikust liiget

a1, a2, a3, …, an–2, an–1, an.

Sel juhul on algusest ja lõpust esimesel kohal olevate liikmete summa a1 + an. Algusest ja lõpust teisel kohal olevate liikmete summa on

a2 + an–1 = a1 + d + an – d = a1 + an.

Vaatleme algusest ja lõpust k-ndate liikmete summat. Teame, et lõpust 2. liikme indeks on n – 1, lõpust 3. liikme indeks n – 2 jne, lõpust k-nda liikme indeks on n – (k – 1) = n – k + 1. Jada üld­liikme valemi järgi

ak = a1 + (k – 1)d,   an–k+1 = a1 + [(n – k + 1) – 1]d = a1 + (n – k)d

ja seega

ak + an–k+1 = a1 + (k – 1)d + a1 + (n – k)d = a1 + kd – d + a1 + nd – kd = a1 + a1 + (n – 1)d = a1 + an. ♦

Saadud omadust kasutades tuletame valemi aritmeetilise jada n esimese liikme summa Sn arvutamiseks. Esitame summa Sn kaks korda: üks kord on summas jada liikmed nende loomulikus järjestuses, teine kord vastu­pidises järjestuses.

(1) Sn = a1 + a2 + a3 + … + an–2 + an–1 + an

(2) Sn = an + an–1 + an–2 + … + a3 + a2 + a1

Nagu äsja tõestasime, on võrduste paremal pool kohakuti paiknevate liikmete summad võrdsed. Et selliseid summasid on n tükki, saame võrduste (1) ja (2) vastavate poolte liitmisel 2Sn = (a1 + an)n, millest saame valemi aritmeetilise jada n esimese liikme summa arvutamiseks:

Sn=a1 + an2·n

Teades, et an = a1 + (n – 1)d, võime saadud valemile anda ka teise kuju:

S_n=\frac{a_1+a_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n ehk

Sn=2a1 + (n - 1)d2·n.

Viimane valem võimaldab arvutada n esimese liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi. Kui d = 0, siis Sn = a1 · n.

Näide 1.

Leiame summa 1 + 2 + 3 + … + n. Siin on liidetavateks aritmeetilise jada n järjestikust liiget ja a1 = 1, d = 1, an = n.

S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.

Näide 2.

Leiame kõigi 100-st väiksemate paaritute naturaal­arvude summa. Esimene paaritu naturaal­arv a1 = 1 ja viimane an = 99. Tarvis on teada veel liikmete arvu n, mille leiame jada üld­liikme valemist an = a1 + (n – 1)d:

n=\frac{a_n-a_1}{d}+1 = \frac{98}{2}+1 = 50.

Siis S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot50 = 100\cdot25 = 2500.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 307. Aritmeetilise jada 10 esimese liikme summa

a1 = –17, d = 6

Vastus. S10 = 

a1 = 3, d = –5

Vastus. S10 = 

a1 = 2, a3 = 6

Vastus. S10 = 

a_1=\frac{3}{4}, d = 4

Vastus. S10 = 

Ülesanne 308. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

a1 = 10, an = –19, n = 30

Vastus. S30 = 

a1 = 3,4, d = 2,1, n = 14

Vastus. S14 = 

a_1=\frac{5}{6}, d=\frac{4}{3}, n = 12

Vastus. S12 = 

d=-\frac{1}{4}, n = 13, an = 1

Vastus. S13 = 

a1 = –10, n = 6, an = –20

Vastus. S6 = 

d = 2, n = 15, an = –10

Vastus. S15 = 

Ülesanne 309. Kald­pinnal veerev keha

Vastus. Keha läbis 10 sekundiga  m.

Ülesanne 310. Tartu Rae­koja kell

Vastus. Tartu Raekoja kell lööb öö­päevas  korda.

Ülesanne 311. 7-ga jaguvad arvud

Vastus. Arvude 100 ja 1000 vahel on  7-ga jaguvat arvu. Nende arvude summa on .

Ülesanne 312. Tõestamine

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.

2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.

2 + 6 + 10 + … + (4n – 2) = 2n2

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.
Ülesanne 313. Vabalt langev keha

Vastus. Keha langeb 249,9 m . sekundil.

Vastus. Keha langeb 500 m kõrguselt umbes  sekundit.

Vastus. See šaht on -meetrine.

Ülesanne 314. Töölise teenistus

Vastus. Firmas A teeniks ta 10 aastaga  € ja firmas B sama ajaga  €.

Ülesanne 315. Aktsia­tulu

Vastus. Tulu iga-aastane juurde­kasv oli  €. Omanik sai aktsiatelt 11 aastaga  € tulu.

Ülesanne 316. Vee­trassi torud
Joon. 2.5

Vastus. 120 toru paigutamisel tekib -realine virn ja kõige alumisse ritta tuleb panna  toru. Virna kõrgus saab olema  m.

Ülesanne 317. Aritmeetilise jada liikmete summa

Vastus. Selles jadas tuleb võtta  liiget.

Ülesanne 318. Jalg­ratturite matka­grupp

Vastus. Matka­grupp jõudis siht­kohta kell .

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 319. Kolme­kohaliste naturaal­arvude summa

Vastus. Kõigi selliste kolme­kohaliste naturaal­arvude summa on .

Ülesanne 320. Aritmeetilise jada 40 esimese liikme summa

Vastus. S_{40} = 

Ülesanne 321. Avaldamine

Vastus. an = ; Sn = 

Ülesanne 322. Aritmeetilise jada liikmete arv

Vastus. n = 

Ülesanne 323. Poegade vanused

Vastus. Poegade vanused on (alates noorimast)  a,  a,  a,  a ja  a.

Seotud sisu
Muud tegevused