Ring­joone pikkus ja ringi pindala piir­väärtusena

Järgnevas vaatleme kahte näidet sellest, kuidas piir­protsessi kasutades saab leida kõver­joone pikkuse ja kõveraga piiratud kujundi pindala. Olgu selleks kõver­jooneks ring­joon. Põhi­koolist teame, et ring­joone pikkus C ja ringi pindala S arvutatakse järgmiselt:

C = 2πr ja S = πr².

Tõestame need valemid.

Ring­joone pikkust ei ole otseselt võimalik mõõta mingi pikkus­ühiku abil, sest pikkus­ühikud (1 cm, 1 m jne) on kujutatavad sirg­lõikudena, kuid ring­joon on kõver­joon. Samas tunnetame me intuitiivselt, et ring­joonel on pikkus olemas. Näiteks kui ringi­kujuliselt asetatud nööri tõmbame sirgeks, siis saadud lõigu pikkus on ühtlasi ka ring­joone pikkus.

\frac{a_n}{2}:\ r=\sin\frac{360\degree}{2n} ehk \frac{a_n}{2r}=\sin\frac{360\degree}{2n}, millest a_n=2r\cdot\sin\frac{360\degree}{2n}=2r\cdot\sin\frac{180\degree}{n}.

Et selliseid kolm­nurki on n tükki, on kõõl­hulk­nurga ümber­mõõt

n\cdot a_n=2rn\cdot\sin\frac{180\degree}{n}.

Definitsiooni kohaselt avaldub ring­joone pikkus siis piir­väärtusena:

$$ C=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·a_n\right)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(2rn·\sin \frac{180°}{n}\right)$$ = $$ 2r\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)$$.

Et ring­joone pikkus on lõplik arv, peab ka $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)$$ olema lõplik arv. Peale selle peab see arv olema kõigi ring­joonte puhul ühe­sugune, sest piir­väärtuse sümboli all ei esine ring­joone raadiust r.

Arvestades, et $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)=\mathrm{\pi }$$ (selle valemi tõestame peatüki 4.4 näites 5), saamegi ring­joone pikkuse valemi

Ka ringi pindala ei ole otseselt võimalik mõõta meile tuntud pindala­ühikutega (ühik­ruutudega pindalaga 1 cm², 1 m² jne). See­tõttu toimime analoogiliselt eelmises punktis tehtuga: kujundame ringi sisse korra­pärase kõõl­hulk­nurga ja lähendame selle pindala ringi pindalaga.

Ringi pindala valemi tuletamiseks kasutame taas joonist 2.13. Kolm­nurga AOB pindala S_k=\frac{a_nh_n}{2}, kus h_n on kolm­nurga AOB kõrgus OC. Kogu korra­pärase hulk­nurga pindala on S_n=n\cdot\frac{a_n\cdot h_n}{2}=\frac{na_nh_n}{2}.

Ringi pindala S avaldub seega järgmiselt:

$$ S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n·n·\frac{h_n}{2}\right)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }(n·a_n)·\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{h_n}{2}$$.

Et $$ \underset{n\to \infty }{\lim }(n·a_n)=2\pi r$$ ja $$ \underset{n\to \infty }{\lim }{h}_n=r$$, siis $$ S=2\mathrm{\pi }r·\frac{r}{2}=\mathrm{\pi }{r}^2$$ ehk