Jada piir­väärtus

Seotud sisu
Muud tegevused

Jada piir­väärtuse mõiste

Eelmistes peatükkides uurisime joonistele tuginedes jadade käitumist, kui n\to∞. Matemaatikas on selline nn piir­protsesside käsitlemine andnud lahendused paljudele ülesannetele. Mingi tundmatu suuruse täpseks määramiseks leitakse esi­algu selle suuruse ligi­kaudseid väärtusi, mida täpsustatakse siis nii, et need erinevad otsitavast suurusest ikka vähem ja vähem. Sellist meetodit kasutatakse näiteks kõver­joonte pikkuse arvutamisel, kõver­joontega piiratud kujundi pindala arvutamisel, kehade ruumala arvutamisel, kõver­joontele puutuja leidmisel jne. Piir­protsessi kasutamine viis 17. sajandil uue matemaatika haru – matemaatilise analüüsi tekkele. See on matemaatika haru, mis uurib funktsioone piir­protsesside abil.

Järgnevas teemegi esma­tutvust piir­protsessidega. Vaatleme jada (an):

\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, …, \frac{99}{100}, \frac{100}{101}, …, \frac{n}{n+1}, … .

Kujutage jada esimesed 6 liiget arv­teljel.

Mida kaugemale me jadas läheme, seda enam lähenevad jada liikmed arvule 1 ehk seda vähem erinevad jada liikmed arvust 1 (vt järgnev tabel). Selle kirjutame lühemalt üles järgmiselt: kui n\to∞, siis a_n\to1.

Alates 100-ndast liikmest erinevad jada liikmed arvust 1 vähem kui 0,01; alates 1000-ndast liikmest on see erinevus väiksem kui 0,001 jne. Seda, et antud jada liikmed tulevad arvule 1 järjest lähemale, illustreerib ka joonis 2.9. Öeldakse, et selle jada piir­väärtus on 1.

Joon. 2.9

Arv A on jada (an) piir­väärtuseks, kui jadas järjest kaugemale minnes tema liikmed erinevad arvust A kui tahes vähe ehk teatud indeksist alates jääb liikmete erinevus arvust A väiksemaks igast kui tahes väikesest ette­antud positiivsest arvust.

Arvu A nimetatakse jada (an) piir­väärtuseks, kui iga positiivse arvu ε jaoks leidub jadas järje­number m, millest alates jada järgnevad liikmed erinevad arvust A vähem kui ε võrra,
​s.t |an – A| < ε, kui n ≥ m.

Jada liikmete ja arvu A vahede puhul tuleb vaadelda nende absoluut­väärtusi selle­pärast, et jada liikmete lähenemine arvule A võib toimuda kas vasakult (joonis 2.10 a), paremalt (joonis 2.10 b) või pendeldades (joonis 2.10 c).

Joon. 2.10

Seda, et arv A on jada (an) piir­väärtuseks, tähistatakse:

limn→∞ an=A.

Seda kirjutist loetakse: liimes an-st n lähenemisel lõpmatusele on A.

Nii võime kirjutada, et limn→∞1n=0, limn→∞12n-1=0, limn→∞nn+1=1 jne.

Näide 1.

Leiame jada 2; \frac{1}{3}; -\frac{4}{4}; -\frac{11}{5}; …; \frac{5-n^2}{n+1}; … piir­väärtuse.

Selle jada liikmed vähenevad tõkestamatult, kui jadas järjest kaugemale minna (joonis 2.11). Antud jada on tõkestamatult kahanev ja selle jada piir­väärtus on miinus lõpmatus.

Joon. 2.11

Vastus. limn→∞5 - n2n + 1=-∞.

Üldiselt, jada (an) piir­väärtus on miinus lõpmatus, kui n\to∞ korral a_n\to-∞.

Näide 2.

Leiame jada 1; 3; 5; …; 2n – 1; … piir­väärtuse.

Teame, et selle jada liikmed suurenevad tõkestamatult, kui selles jadas järjest kaugemale minna. Näiteks a100 = 199, a1000 = 1999 jne. Jada piir­väärtuse definitsiooni kohaselt sellel jadal piir­väärtust ei leidu. Antud juhul öeldakse, et jadal on lõpmatu piir­väärtus. Jada piir­väärtus on pluss lõpmatus, kui n\to∞ korral a_n\to∞.

Vastus. limn→∞(2n-1)=∞ ehk limn→∞(2n-1)=+∞.

Näide 3.

Näitame, et limn→∞2n + 1n=2. Moodustame vahe absoluut­väärtuse ja uurime seda.

2n + 1n-2=2n + 1 - 2nn=1n=1n.

Vaatame, kas leidub iga positiivse arvu ε jaoks jada liikme selline järje­number n, et \frac{1}{n}<\varepsilon. Seda võrratust teisendades saame, et n>\frac{1}{\varepsilon}. Viimane võrratus ütleb, et kui valime jadas liikme, mille järje­number on suurem kui \frac{1}{\varepsilon}, siis jada järgnevad liikmed erinevad arvust 2 vähem kui ε võrra. Näiteks, kui ε = 0,1, siis n > 10; kui ε = 0,01, siis n > 100 jne. Sõnastatult: pärast 10-ndat liiget erinevad jada järgnevad liikmed arvust 2 vähem kui 0,1 võrra; pärast 100-ndat liiget vähem kui 0,01 võrra jne.

Kokku võttes

  • hääbuva jada piir­väärtus on 0, näiteks limn→∞1n=0;
  • tõkestamatult kasvava jada piir­väärtus on +∞ ja tõkestamatult kahaneva jada piir­väärtus on -∞;
  • nn pendeldavatel jadadel piir­väärtus puudub. Näiteks puudub piir­väärtus jadadel 1, 0, 4,0, 9, 0, 16, … ja –1; 1; –1; 1; …, (–1)n; …;
  • kui jada piir­väärtus on mingi arv A, siis öeldakse ka, et jadal on lõplik piir­väärtus.
  • konstantse jada piir­väärtus on see konstant ise. Näiteks limn→∞1=1. Üldiselt, limn→∞c=c.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 374. Jada piir­väärtus

a_n=\frac{1-n}{n}
limn→∞1 - nn = 

a_n=\frac{2n+1}{n}
limn→∞2n + 1n = 

a_n=\frac{3-n}{n+2}
limn→∞3 - nn + 2 = 

a_n=\frac{1-2n}{4n}
limn→∞1 - 2n4n = 

Ülesanne 375. Lihtsustamine

\left|\frac{1}{n}\right| = 

\left|\frac{3}{2n-1}\right| = 

\left|\frac{-3}{2n-1}\right| = 

\left|\frac{n+1}{3n+8}\right| = 

\left|\frac{5-n}{n+1}\right| = 

\left|\frac{-n^3}{n^2+3}\right| = 

\left|\frac{\left(-1\right)^n}{n+7}\right| = 

\left|\frac{1-2n}{-n}\right| = 

Ülesanne 376. Võrratuse lahendamine

\left|n-1\right|<2

n ∈ 

\left|3-5n\right|>1

n ∈ 

\left|\frac{n-1}{n}\right|>1

n ∈ 

\left|\frac{n+2}{n+3}\right|>1

n ∈ 

\left|\frac{2}{n+1}\right|<5

n ∈ 

\left|\frac{2n}{n+1}-2\right|<\frac{1}{100}

n ∈ 

Ülesanne 377. Hääbuva jada liikmed

Hääbuv jada

Liikmed on väiksemad
kui \frac{1}{1000} alates

a_n=\frac{2}{n}

-st liikmest

a_n=\frac{2}{n+1}

-st liikmest

a_n=\frac{3}{n^2}

-st liikmest

a_n=\frac{1}{n^2+1}

-st liikmest

Ülesanne 378. Jada piir­väärtus

limn→∞2nn + 1=2

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

limn→∞3n - 12n + 5=32

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

limn→∞n + 1n + 2=1

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

limn→∞2n + 1n=2

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

limn→∞n2 + 1n2=1

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

limn→∞6n + 42n + 11=3

Vastus. Antud arv  selle jada piir­väärtuseks.

Ülesanne 379. Millal on täidetud võrratus?

a_n=\frac{n}{n-1}, A=1

Vastus. Võrratus on täidetud alates n = .

a_n=\frac{n+1}{5n}, A=\frac{1}{5}

Vastus. Võrratus on täidetud alates n = .

a_n=\frac{3n+2}{6n-1}, A=\frac{1}{2}

Vastus. Võrratus on täidetud alates n = .

a_n=\frac{2n-1}{n+1}, A=2

Vastus. Võrratus on täidetud alates n = .

Seotud sisu
Muud tegevused

Piir­väärtuse arvutamine

Piir­väärtuse arvutamiseks on tarvis tunda piir­väärtuse omadusi. Kogetu põhjal võime väita, et kehtivad järgmised omadused.

1) limn→∞n=∞

2) limn→∞(-n)=-∞

3) limn→∞c=c

4) limn→∞1n=0

Peale nende on jada piir­väärtusel veel järgmised aritmeetiliste tehetega seotud omadused.

Kui on olemas lõplikud piir­väärtused limn→∞an=A ja limn→∞bn=B, siis

5) limn→∞(an+bn) = limn→∞an+limn→∞bn = A+B

6) limn→∞(an-bn) = limn→∞an-limn→∞bn = A-B

7) limn→∞(an·bn) = limn→∞an·limn→∞bn = A·B

8) limn→∞(an:bn) = limn→∞an:limn→∞bn = A:B, kui B ≠ 0.

Omaduse 5 tõestus

Tõestame nendest omaduse 5. Tuletame kõige­pealt meelde, et võrratus |x| < ε on sama­väärne võrratusega –ε < x < ε ja võrratus |a – b| < ε sama­väärne võrratusega –ε < a – b < ε. Vastavalt piir­väärtuse definitsioonile leidub iga positiivse arvu ε puhul jadas (an) järje­number m1 ja jadas (bn) järje­number m2 nii, et

\left|a_n-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}, kui n > m1,     ehk     -\frac{\varepsilon}{2}<a_n-A<\frac{\varepsilon}{2}

\left|b_n-B\right|<\frac{\varepsilon}{2}, kui n > m2,     ehk     -\frac{\varepsilon}{2}<b_n-B<\frac{\varepsilon}{2}.

Liites need kaks sama­pidist võrratust, saame

–ε < (an + bn) – (A + B) < ε     ehk     |(an + bn) – (A + B)| < ε.

Saadud võrratus kehtib iga n korral, mis on suurem kui m1 ja m2. See­tõttu järeldub viimasest võrratusest, et jada (an + bn) piir­väärtus on A + B ja järelikult limn→∞(an+bn)=A+B. ♦

Näide 1.

  1. Valemeid 5, 3 ja 4 kasutades saame, et limn→∞(1+1n) = limn→∞1+limn→∞1n = 1+0 = 1;
  2. limn→∞1n2 = limn→∞1n·1n = limn→∞1n·limn→∞1n = 0·0 = 0 (valemid 7 ja 4).

Näide 2.

Leiame piir­väärtuse limn→∞7n2 - 5.

Kuna nimetaja piir­väärtus on lõpmatus, siis ei saa me siin kasutada piir­väärtuse leidmiseks valemit 8. Teisendame jada üld­liikme avaldist, jagades murru lugeja ja nimetaja avaldisega n2. Saame:

limn→∞7n2 - 5 = limn→∞7n2n2 - 5n2 = limn→∞7n2limn→∞1-5n2 = limn→∞7 · limn→∞1n · limn→∞1nlimn→∞1 - limn→∞5 · limn→∞1n · limn→∞1n = 7 · 0 · 01 - 5 · 0 · 0 = 0.

Piir­väärtust pole võimalik valemite 1–8 abil leida järgmistel nn määramatuse juhtudel: ∞-∞, \frac{∞}{∞} ja \frac{0}{0} (siin ∞-∞ tähendab, et jada an – bn korral on mõlema jada piir­väärtused lõpmatud ja sama­märgilised). Selliste jadade piir­väärtuse leidmiseks tuleb jada üld­liikme avaldist eelnevalt teisendada nii, et määramatust ei esineks ja oleks võimalik rakendada valemeid 1–8.

Näide 3.

Leiame limn→∞6n - 52n + 2.

Selle piir­väärtuse arvutamisel ei saa me kohe rakendada valemit 8, sest nii murru lugejal kui ka nimetajal lõplik piir­väärtus puudub (määramatus \frac{∞}{∞}). Toome lugejas ja nimetajas teguri n sulgude ette ning taandame:

limn→∞6n - 52n + 2 = limn→∞n6 - 5nn2 + 3n = limn→∞6 - 5n2 + 3n = limn→∞6 - 5nlimn→∞2 + 3n = limn→∞6 - limn→∞5nlimn→∞2 + limn→∞3n = 6 - 02 + 0 = 3.

Näide 4.

Leiame piir­väärtuse limn→∞n+1-n.

Siin on tegemist määramatusega ∞-∞. Teisendame avaldist järgmiselt:

n+1-n = n + 1 - nn + 1 + nn + 1 + n = n + 12 - n2n + 1 + n = n + 1 - nn + 1 + n = 1n + 1 + n;

limn→∞1n + 1 + n=0.

Seega otsitav piir­väärtus on 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 380. Jada piir­väärtus

Põhjendage, et limn→∞c·an=c·limn→∞an.

Ülesanne 381 Piir­väärtuse arvutamine

limn→∞7n = 

limn→∞7n = 

limn→∞-4n2 = 

limn→∞n7 = 

limn→∞3+6n = 

limn→∞3n = 

limn→∞12n2 = 

limn→∞-45n = 

Ülesanne 382. Piir­väärtuse arvutamine

limn→∞2+3n3 = 

limn→∞1-5n = 

limn→∞15n3 + 1 = 

limn→∞7n2+n = 

limn→∞33n + 1 = 

limn→∞n2 + 5n2n = 

limn→∞[-4( n+n3)] = 

limn→∞2n3n = 

limn→∞n + 122 = 

Ülesanne 383. Piir­väärtuse arvutamine

Jada

Jada piir­väärtus

a_n=\frac{n+1}{n-1}

a_n=\frac{n+2}{n^2-4}

a_n=\frac{3n+1}{n-6}

Jada

Jada piir­väärtus

a_n=\frac{n-3}{4-n}

a_n=\frac{3n}{12n+11}

a_n=\frac{7n+8}{2n}

Jada

Jada piir­väärtus

a_n=\frac{n^2+1}{2n^2-1}

a_n=\frac{5n^2-3n}{3n-5n^2}

a_n=\frac{n^3+n^2+1}{n^3+1}

Jada

Jada piir­väärtus

a_n=\frac{n^3}{n^3+n+2}

a_n=\frac{n^3-5n+6}{2n^2+n-3}

a_n=\frac{n^2-5}{n^3-2n^2+n-2}

Ülesanne 384. Tõestamine

Tuginedes jada piir­väärtuse omadustele, tõestage hääbuva geomeetrilise jada summa valem S=limn→∞Sn=a11 - q.

Ülesanne 385. Piir­väärtuse arvutamine

limn→∞2n2+n = 

limn→∞2n-4n2+n = 

limn→∞n3-1n-1 = 

limn→∞n-n2+1 = 

limn→∞4n2+1-2n = 

limn→∞n2+6n-n = 

Ülesanne 386. Piir­väärtuse arvutamine

limn→∞11 · 2+12 · 3+…+1n(n + 1) = 

limn→∞n + 13 - n - 13n + 12 + n - 12 = 

Seotud sisu
Muud tegevused