Курс „Функции”
Из курса 10-го класса мы знаем, что углы можно измерять в градусной, а также и в радианной мере. Так как радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, то отсюда следует, что 180° = π рад.
Как мы знаем, каждому углу соответствует одно значение синуса этого угла. Если угол х выражен в радианах, то каждому действительному числу х соответствуют одно значение синуса. Обозначим эту величину буквой у и будем рассматривать х как переменную. Тогда равенство у = sin x определяет функцию, называемую функцией синус[понятие: Функция синус (siinusfunktsioon) – определенная на множестве всех действительных чисел тригонометрическая функцмя 𝑦 = sin 𝑥, где 𝑥 – величина угла в радианах.].
Из сказанного вытекают свойства функции y = sin x
- Область определения Х есть множество всех действительных чисел, т. е. Х = R.
- Множество значений Y = [–1; 1], т. е. –1 ≤ sin x ≤ 1, или |sin x| ≤ 1.
Из соотношения sin(–x) = –sin x вытекает, что
функция синус является нечетной функцией.
Поэтому
график функции у = sin x симметричен относительно начала координат.
Из соотношения sin (x + n · 2π) = sin x, где n ∈ Z, следует, что значения sin x повторяются через каждые 2π. Поэтому график функции y = sin x достаточно построить на некотором отрезке длиной 2π, например, на отрезке [0; 2π], а затем продолжить его («скопировать») на всю область определения. График функции синус называется синусоидой[понятие: Синусоида (sinusoid) – график функции синус.] (рис. 2.52).
Свойство функции y = sin x, заключающееся в повторяемости ее значений через один и тот же промежуток (длиной 2π), называется периодичностью этой функции.
Функция у = sin x является периодической с периодом 2π.
График функции y = sin x проще всего построить на компьютере, например, с помощью программы GeoGebra.
График данной функции позволяет описать и многие другие важные свойства функции синус.
- Нулями функции являются значения аргумента
…, –2π, –π, 0, π, 2π, 3π, … или nπ, где n ∈ Z. - Область положительности функции y = sin x состоит из интервалов
…, –2π < x < –π, 0 < x < π, 2π < x < 3π, … илиX^+=\left(2n\pi;\ 2n\pi+\pi\right) , где n ∈ Z. - Область отрицательности функции y = sin x образуют интервалы
…, –π < x < 0, π < x < 2π, … илиX^-=\left(-\pi+2n\pi;\ 2n\pi\right) , где n ∈ Z. - Интервалами возрастания функции y = sin x являются интервалы
…,-\frac{5\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} ,-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} ,\frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2} , … илиX\uparrow=\left(-\frac{\pi}{2}+2n\pi;\ \frac{\pi}{2}+2n\pi\right) , где n ∈ Z. - Интервалами убывания функции y = sin x являются интервалы
…,-\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2} , … илиX\downarrow=\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi;\ \frac{3\pi}{2}+2n\pi\right) , где n ∈ Z. - Точками минимума функции y = sin x являются
…,-\frac{5\pi}{2} ,-\frac{\pi}{2} ,\frac{3\pi}{2} ,\frac{7\pi}{2} , … или\frac{3\pi}{2}+2n\pi , где n ∈ Z. - Точками максимума функции y = sin x являются
…,-\frac{3\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} ,\frac{5\pi}{2} , ... или\frac{\pi}{2}+2n\pi , где n ∈ Z.
Пример 1.
С помощью графика функции y = sin x (рис. 2.52) найдем: 1) какой знак имеет значение sin 3,5; 2) что больше, sin 2 или sin 3.
- Так как π < 3,5 < 2π, то значение аргумента х = 3,5 принадлежит области отрицательности функции y = sin x, и поэтому sin 3,5 < 0.
- Так как
0,5\pi<2<3<\pi , то данные значения аргумента принадлежат одному из интервалов убывания функции, следовательно, sin 2 > sin 3.
Пример 2.
Решим уравнение
Начертим график функции y = sin x и проведем прямую
Интересующие нас точки повторяются через каждые 2π. На рисунке 2.53 мы видим и другие корни уравнения:
