Логарифмические уравнения

Курс "Функции"

Логарифмическим уравнением[понятие: Логарифмическое уравнение (logaritmvõrrand) – уравнение, содержащее неизвестное только в основании логарифма или в логарифмируемом выражении.] называется уравнение, содержащее неизвестное только в основании логарифма или в логарифмируемом выражении.

Пример 1.

Логарифмическими являются, например, уравнения

\log_2x=4,

\log_3\left(2x^2-23\right)=2,

\ln0,05x=-2,

\log_{x-1}27=3.

Чтобы решить логарифмическое уравнение, его преобразуют к виду

\log_af\left(x\right)=c   или к виду   \log_af\left(x\right)=\log_ag\left(x\right),

откуда на основании определения логарифма или с помощью потенцирования получают соответственно уравнения

f\left(x\right)=a^c   или   f\left(x\right)=g\left(x\right).

Найденные корни обязательно следует проверить, так как при потенцировании уравнения могут появляться посторонние корни.

Пример 2.

Решим уравнения, приведенные в примере 1.

  1. По определению логарифма из уравнения \log_2x=4 получим, что x=2^4=16, что оказывается корнем уравнения, так как \log_22^4=4\log_22=4\cdot1=4.
  2. Из уравнения \log_3\left(2x^2-23\right)=2, получим, что 2x^2-23=3^2, или 2x^2=32, откуда x^2=16 ja x_1=4, x_2=-4. Убедитесь, что эти значения являются корнями уравнения.
  3. Из уравнения \ln0,05x=-2 получим, что 0,05x=e^{-2}, откуда x=20e^{-2}. Это число также является корнем уравнения.
  4. Уравнение \log_{x-1}27=3 дает, что \left(x-1\right)^3=27, откуда x-1=\sqrt[3]{27} и x=4. Убедитесь, что это значение является корнем уравнения.

Пример 3.

Решим уравнение \log_5\left(x-3\right)+\log_5\left(x+3\right)-\log_5\left(x+1\right)=1.

Упростим левую часть уравнения, в результате чего уравнение примет вид

\log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1, или \log_5\frac{x^2-9}{x+1}=1.

По определению логарифма получим

\frac{x^2-9}{x+1}=5, откуда x^2-5x-14=0. 

Корнями последнего уравнения будут x_1=-2 ja x_2=7.

Проверка. Так как при x=-2 некоторые из логафирмируемых выражений в исходном уравнении принимают отрицательные значения, то х = –2 не является корнем исходного уравнения. В то же время, x = 7 является корнем, так как 

\log_5\left(7-3\right)+\log_5\left(7+3\right)-\log_5\left(7+1\right) = \log_54+\log_510-\log_58 = \log_5\left(4\cdot10\ :\ 8\right) = \log_55 = 1.

Ответ: x=7.

Логарифмическое уравнение может также быть алгебраическим уравнением относительно \log_af\left(x\right).

Пример 4.

Решим уравнение[cноска: Для краткости записи выражение (logₐ 𝑥)ⁿ часто записывают в виде logₐⁿ 𝑥. Таким образом, (logₐ 𝑥)² = logₐ² 𝑥 и т. д.] \log_3^2x-6\log_3x+8=0.

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно \log_3x. Поэтому

\log_3x=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm2}{2}=3\pm1,

откуда \log_3x=2\ или \log_3x=4. Отсюда получим соответственно x_1=3^2=9, x_2=3^4=81.

Проверка.

  1. \log_3^29-6\log_39+8=2^2-6\cdot2+8=0
  2. \log_3^281-6\log_381+8=4^2-6\cdot4+8=0

Ответ: x_1=9 и x_2=81.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

\log_2x=4
x = 

\log_3\left(2x^2-23\right)=2
x =  или x = 

\log_x16=4
x = 

\log_{x-1}27=3
x = 

\log_x8=\frac{1}{2}
x = 

\log_{x-1}\left(2-2x\right)=2
x = 

\log_4x=0
x = 

\log_{x+1}x^2=0
x = 

\log x=\log5
x = 

\log8x=\log13
x = 

\log\left(x+4\right)=\log2
x = 

\log\left(2x-5\right)=\log7
x = 

\log x=-\log3
x = 

\log x=-\log0,8
x = 

\log\left(x-0,2\right)=-\log5
x = 

\log\left(8-3x\right)=-\log11
x = 

\log x+\log\left(x+1\right)=\log6
x = 

\log_3\left(x-4\right)+\log_3\left(x+2\right)=\log_37
x = 

\log x+\log\left(2x-3\right)=\frac{1}{2}\log x^2
x = 

\log\left(x+8\right)-\log\left(x-6\right)=\log4,5
x = 

\log_4^2x+\log_4x-6=0
x1 = , x2 = 

3\log^2x-5\log x+2=0
x1 = , x2 = 

2\ln^2x+5\ln x-3=0
x1 = , x2 = 

\log_x^216+2\log_x16-8=0
x1 = x2 = 

Seotud sisu
Muud tegevused