Функция косинус

Курс „Функции”

Определение и свойства функции косинус[понятие: Функция косинус (koosinusfunktsioon) – определенная на множестве всех действительных чисел тригонометрическая функция 𝑦 = cos 𝑥, где 𝑥 – величина угла в радианах.], т. е. функции y = cos x, могут быть получены так же, как и для функции синус. В самом деле, каждому действительному числу х (углу в радианной мере) соответствует одно значение cos x.

Функция y = cos x обладает следующими свойствами.

  1. Областью определения функции y = cos x является множество R всех действительных чисел, т. е. X = R;
  2. Множеством значений функции косинус является отрезок Y = [–1; 1], т. е. –1 ≤ cos x ≤ 1, или |cos x| ≤ 1.

Из соотношения cos (–x) = cos x вытекает, что

функция y = cos x является четной функцией

и

график функции косинус симметричен относительно оси ординат.

Поскольку cos (x + n · 2π) = cos x, то значения функции повторяются через каждые 2π. Следовательно,

функция y = cos x является периодической функцией с периодом 2π.

График функции косинус (рис. 2.54) является также синусоидой, которая получается из графика функции у = sin x сдвигом графика функции у = sin x вдоль оси абсцисс на \frac{\pi}{2} единиц влево (или же с помощью сдвига оси Оу вправо на \frac{\pi}{2} единиц).

Рис. 2.54

Пример 1.

С помощью графика (рис. 2.54) сравним значения \cos\left(-3\right)<\cos\left(-1\right). Поскольку значения аргумента –3 и –1 принадлежат одному из интервалов возрастания функции косинус \left(-\pi<-3<-1<0\right)_{ }, то cos(–3) < cos(–1).

Пример 2.

Выясним знак \cos\left(-5,8\right).

Так как значение аргумента –5,8 принадлежит области положительности функции косинус (рис. 2.54), а точнее,

-2,5\pi\approx-7,85<-5,8<-1,5\pi\approx-4,71, то \cos\left(-5,8\right)>0.

Пример 3.

С помощью графика функции y = cos x решим уравнение \cos x=0,5.

Начертим график функции косинус и проведем прямую y=0,5 (рис. 2.55). Корнями уравнения \cos x=0,5 являются абсциссы точек пересечения графика и прямой.

Рис. 2.55​

Так как \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=0,5, то абсциссами точек A и B являются соответственно -\frac{\pi}{3} и \frac{\pi}{3}. Учитывая периодичность с периодом 2π, получим, что корнями уравнения \cos x=0,5 будут

…, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, … и -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, …

т. е. значения аргумента

x_1=-\frac{\pi}{3}+2n\pi и x_2=\frac{\pi}{3}+2n\pi, где n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Значение аргумента

x=\frac{\pi}{6}

x=\frac{\pi}{2}

x=-\frac{\pi}{6}

x=\frac{9\pi}{10}

Значение функции

Значение аргумента

x=\frac{17\pi}{6}

x=-\frac{113\pi}{14}

x=2,04

x=-3

Значение функции

Рис. 2.54
  1. область положительности и область отрицательности.
    Ответ: X^+ = , X^- = 
  2. интервалы возрастания и интервалы убывания.
    Ответ: X_n\uparrow = , X_n\downarrow = 

Ответ: x0 = , где n ∈ Z.

Рис. 2.54

Ответ: точками экстремума функции косинус являются  x_{\max} =  и x_{\min} = .

Выражение

Знак выражения

\cos8

\cos\left(-5\right)

\cos1

\cos0,625\pi

\cos\left(-3\right)

\cos0,8  \cos1,8

\cos\left(-\pi\right)  \cos\left(-2\pi\right)

\cos8  \cos6,4

\cos\left(-5\right)  \cos3

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X_0 = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = 

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: точки максимума графика есть  и  , а точки минимума –   и .

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: точка максимума графика есть  , а точка минимума – .

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: точки максимума графика есть  и  , а точка минимума – .

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: точки максимума графика есть  и  , а точка минимума –  .

y=3+4\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента  n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение при значениях аргумента    n ∈ Z, и это значение равно .

y=1-\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента  n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение при значениях аргумента  n ∈ Z, и это значение равно .

y=1,5\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента  n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение при значениях аргумента   n ∈ Z, и это значение равно .

y=\cos^2x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента   , n ∈ Z, и это значение равно   , а наименьшее значение при значениях аргумента  n ∈ Z, и это значение равно .

Seotud sisu
Muud tegevused