Määratud integraal piirväärtusena

Me defineerisime määratud integraali Newtoni-Leibnizi valemiga. Enne aga, kui jõuti Newtoni-Leibnizi valemini, oli olemas meetod kõvertrapetsi pindala ligikaudseks arvutamiseks. Ühe sellise meetodiga, mis pärineb Archimedeselt, tutvusime peatükis 1.5. Selle meetodi puhul lähendatakse kõvertrapetsit treppkujundiga, mis koosneb ristkülikutest. Kui tükeldada kõvertrapets järjest kitsamateks trapetsiteks, siis erinevus kõvertrapetsite pindalade summa ja ristkülikute pindalade summa vahel järjest väheneb (joon. 1.22). Järelikult on kõvertrapetsi pindala leidmisel mõistlik kasutada piirprotsessi (nii toimisime ka ringi pindala valemi tuletamisel XI klassis).

Joon. 1.22

Joon. 1.23

Olgu kõvertrapetsi alused kohtadel x = a ja x = b (joon. 1.23). Need punktid x-teljel määravad lõigu [a; b], mille jaotame n võrdseks osaks. Iga osa pikkus on seega \frac{b-a}{n}, mille tähistame Δx-ga. Joonestame igale niisugusele osale ristküliku, mille alus on Δx ja kõrgus funktsiooni f (x) väärtus Δx vasakpoolses otspunktis. Kõvertrapetsi pindala avaldub nüüd ligikaudselt valemigaS ≈ f (a)Δx + f (x₁)Δx + f (x₂)Δx + … + f (x_n–1)Δx.

Sellist summat saab lühemalt üles kirjutada Σ (kreeka tähestiku suurtäht sigma) abil:S\approx\sum_{i=0}^{n-1}f\left(x_1\right)\Delta x.Jaotuspunktide arvu võime järjest suurendada, näiteks juba valitud osalõikude poolitamise teel. Et f (x) on pidev lõigus [a; b], siis läheneb ristkülikute pindalade summa järjest enam kõvertrapetsi pindalale S. Kõvertrapetsi pindala on seega selle , kui osalõikude arv n → ∞ ehk Δx → 0:

S = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{i}) Δ x

Eespool veendusime, et S=\int_a^bf\left(x\right)dx. Seega $\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{i}) Δ x$ . (1)

Nagu näeme, avaldub määratud integraal rajades a-st b-ni teatud summa piirväärtusena. Summat $\sum_{i = 0}^{n - 1} f (x_{i}) Δ x$ nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks lõigul [a; b]. Selliselt defineeritud määratud integraali nimetatakse saksa matemaatiku Bernhard Riemanni (1826–1866) järgi ka Riemanni integraaliks. Integraali märk ∫ arvatakse olevat tulnud ladinakeelse sõna summa esitähest.

Joon. 1.24

Integraalsumma moodustamisel ei ole oluline, missuguses osalõigu punktis me f (x_i) leiame. Seda võib teha osalõigu alguspunktis (joon. 1.23 või 1.24a), osalõigu lõpp-punktis (joon. 1.24b) või osalõigu sisepunktis (joon. 1.24c). Kuigi me oma arutelus eeldasime, et funktsioon f (x) on pidev ja mittenegatiivne lõigus [a; b], kehtib saadud valem (1) ka siis, kui f (x) on negatiivne, samuti teatud liiki mittepidevate funktsioonide korral.

Näide 1.

Leiame järgmised summad.

\sum_{k=1}^3\left(k+1\right)=2+3+4=9;

\sum_{n=1}^52n=2+4+6+8+10=30;

\sum_{i=1}^6f\left(i\right)=f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+f\left(4\right)+f\left(5\right)+f\left(6\right).

Näide 2.

f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)+f\left(x_5\right)=\sum_{i=1}^5f\left(x_i\right);

1+2+3+4=\sum_{n=1}^4n;

a+\left(a+d\right)+\left(a+2d\right)+\left(a+3d\right) = \sum_{n=0}^3\left(a+nd\right) = \sum_{n=1}^4\left[a+\left(n-1\right)d\right].

Näide 3. Arvutame piirväärtust kasutades \int_0^1xdx.

Antud juhul f (x) = x. Jaotame lõigu [0; 1] n võrdseks osaks. Iga osalõigu pikkus on siis \frac{1}{n} ja jaotuspunktid on kohtadel \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, …, \frac{n}{n}=1 (joon. 1.25).Leiame et f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}, f\left(\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{n} jne.

Joon 1.25

SeegaS = 0\cdot\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\cdot\frac{1}{n}+\dots+\frac{n-1}{n}\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\left[1+2+\dots+\left(n-1\right)\right] = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{\left(n-1\right)n}{2} = \frac{n-1}{2n}ja S =

lim_{n \to \infty} \frac{n - 1}{2 n}

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 n})

= \frac{1}{2}.Teiselt poolt ka

\int_{0}^{1} x d x = {\frac{x^{2}}{2}}_{0}^{1} = \frac{1}{2}

Ülesanded B

Ülesanne 76. Integraalsumma leidmine

$\sum_{k = 1}^{8} (3 k - 2)$ =

\sum_{n = 2}^{5} a_{n}

\sum_{n = 1}^{4} (1 - \frac{1}{n})

\sum_{i = 2}^{5} \frac{i + 2}{i}

\sum_{i = 1}^{4} (i^{2} + 2 i + 1)

\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} a_{k - 1}

Ülesanne 77. Integraalsumma kirjutamine

a_1+a_2+a_3+a_4 =

\sum_{i =}^{}

f\left(x_0\right)+f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right) =

\sum_{i =}^{}

x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+x_{15}^2 =

\sum_{i =}^{}

\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2+x_3\right)+\dots+\left(x_n+x_{n+1}\right) =

\sum_{i =}^{}

\frac{x_1}{1}+\frac{x_2}{2}+\dots+\frac{x_i}{i} =

\sum_{k =}^{}

\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^2+\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2 =

\sum_{n =}^{}

Ülesanne 78. Kõvertrapetsi pindala

Ülesanne 48

Esitage summad s_n ja S_n (kui x-teljel olev lõik on jotatud n võrdseks osaks). Kirjutage need summamärgi abil.Vastus. s_n = $\sum_{i =}^{}$ ; S_n = $\sum_{i =}^{}$

Kontrollige n = 1, n = 2 ja n = 3 korral (või tõestage matemaatilise induktsiooni abil), et 1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}.

Kasutades eelmises punktis saadud tulemust, lihtsustage s_n ja S_n avaldisi ning arvutage nende väärtus, kui n = 8, n = 100, n = 1000.Vastus. s_n = ; S_n = . Kui n = 8, siis s_n = ja S_n = . Kui n = 100, siis s_n = ja S_n = . Kui n = 1000, siis s_n = ja S_n = .

Leidke $\lim_{n \to \infty} s_{n}$ ja $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ . Võrrelge neid. Millega võrdub antud kõvertrapetsi pindala?

Vastus. S =

Ülesanne 79. Integraali väärtuse arvutamine piirväärtust kasutades

Arvutage piirväärtust kasutades \int_2^3\left(x+2\right)dx.

Vastus. \int_2^3\left(x+2\right)dx =

Ülesanne 80. Määratud integraali ligikaudne väärtus

Arvutage \int_0^5\left(25-x^2\right)dx ligikaudne väärtus, tuginedes joonisele 1.26.

Joon. 1.26

Vastus. \int_0^5\left(25-x^2\right)dx ≈

Mitu protsenti erineb tulemus integraali täpsest väärtusest?

Vastus. See erineb integraali täpsest väärtusest %.

Ülesanne 81. Määratud integraali ligikaudne väärtus

Leidke \int_0^1\frac{4}{1+x^2}dx ligikaudne väärtus.

Selleks

skitseerige funktsiooni graafik lõigus [0; 1], täites eelnevalt tabeli.

x		0	\frac{1}{4}	\frac{1}{2}	\frac{3}{4}	1
y=\frac{4}{1+x^2}

Jaotage lõik [0; 1] neljaks võrdseks osaks ja joonestage lõigule 4 ristkülikut. Arvutage integraali ligikaudne väärtus ristkülikute pindalade summana.
Vastus. S ≈
Joonestage lõigule ristkülikute asemele 4 täisnurkset trapetsit ja arvutage integraali ligikaudne väärtus trapetsite pindalade summana. Kummal juhul on tulemus täpsem?
Vastus. S ≈ . Tulemus on täpsem kasutades .

Määratud integraal piirväärtusena

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 76. Integraalsumma leidmine

Ülesanne 77. Integraalsumma kirjutamine

Ülesanne 78. Kõvertrapetsi pindala

Ülesanne 79. Integraali väärtuse arvutamine piirväärtust kasutades

Ülesanne 80. Määratud integraali ligikaudne väärtus

Ülesanne 81. Määratud integraali ligikaudne väärtus

More like this

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Määratud integraal piir­väärtusena

More like this

Ülesanded B

Ülesanne 76. Integraal­summa leidmine

Ülesanne 77. Integraal­summa kirjutamine

Ülesanne 78. Kõver­trapetsi pindala

Ülesanne 79. Integraali väärtuse arvutamine piir­väärtust kasutades

Ülesanne 80. Määratud integraali ligi­kaudne väärtus

Ülesanne 81. Määratud integraali ligi­kaudne väärtus

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).

Check to help us fight spam

Opiq uses cookies

Määratud integraal piirväärtusena

Ülesanne 76. Integraalsumma leidmine

Ülesanne 77. Integraalsumma kirjutamine

Ülesanne 78. Kõvertrapetsi pindala

Ülesanne 79. Integraali väärtuse arvutamine piirväärtust kasutades

Ülesanne 80. Määratud integraali ligikaudne väärtus

Ülesanne 81. Määratud integraali ligikaudne väärtus