Määratud integraali rakendusi 1

Seotud sisu
Muud tegevused

Pindala arvutamine

Me oskame määratud integraali abil leida kõver­trapetsi pindala, kui selle kõver­haaraks olev funktsioon f (x) on mitte­negatiivne, s.t kõver­trapets asub ülevalpool x-telge. Järgnevas tutvume ka muude pindala arvutamise ülesannetega. Vaatleme eraldi kolme juhtu.

1. Kõver­trapets asub allpool x-telge.

Olgu antud lõigus [a; b], kus a < b, pidev funktsioon f (x) < 0. Kui f (x) < 0, siis –f (x) > 0 ja \int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx=S, kus S on vastava kõver­trapetsi pindala (joon. 1.27). Kuid S=\int_a^b\left[-f\left(x\right)\right]dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx ehk S=-\int_a^bf\left(x\right)dx ehk \int_a^bf\left(x\right)dx=-S.

Joon. 1.27

Järelikult, integreerides lõigus [a; b] negatiivset funktsiooni, saame vastava (allpool x-telge asuva) kõver­trapetsi pindala vastand­arvu. Seega tuleb allpool x-telge asuva kõver­trapetsi pindala saamiseks võtta \left|\int_a^bf\left(x\right)dx\right| või -\int_a^bf\left(x\right)dx või \int_b^af\left(x\right)dx.

Näide 1.

Leiame joonisel 1.28 värvitud kõver­trapetsi pindala. Kuna kõver­trapets asub allpool x-telge, siis S=-\int_a^bf\left(x\right)dx.

S=-\int_0^2\left(-x^2+4x-4\right)dx = \int_0^2\left(x^2-4x+4\right)dx = x33-2x2+4x02 = \frac{8}{3}-8+8 = \frac{8}{3}.

Vastus. Kõver­trapetsi pindala on \frac{8}{3} pindala­ühikut.

Joon. 1.28

2. Pinna­tükk koosneb mitmest osast.

Joon. 1.29

Olgu meil tarvis leida joonega f (x) ja x-teljega piiratud kujundi pindala lõigus [a; b]. Kui joonel on selles lõigus null­kohti, siis koosneb vaadeldav kujund eraldi­seisvatest osadest (joon. 1.29). Sel juhul tuleb kogu kujundi pindala leidmiseks liita üksikute osade pindalad:

S=\int_a^{x_1}f\left(x\right)dx+\left|\int_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx\right|+\int_{x_2}^bf\left(x\right)dx = \int_a^{x_1}f\left(x\right)dx-\int_{x_1}^{x_2}f\left(x\right)dx+\int_{x_2}^bf\left(x\right)dx.

Näide 2.

Leiame joonega y = x3 – x ja x-teljega piiratud kujundi pindala. Teeme kõige­pealt joonise (joon. 1.30). Võrrandist x3 – x = 0 saame, et funktsiooni null­kohad on x1 = –1, x2 = 0, x3 = 1.

Joon. 1.30

Jooniselt näeme, et tegemist on kahe kõver­trapetsiga, millest vasak­poolne asub ülalpool ja parem­poolne allpool x-telge. Seega

S=\int_{-1}^0\left(x^3-x\right)dx+\left(-\int_0^1\left(x^3-x\right)dx\right) = x44-x22-10-x44-x2201 = \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Vastus. Pinna­tüki pindala on 0,5 pindala­ühikut.

Kuidas saaks antud pindala leida lihtsamalt? Põhjendage vastust.

3. Pinna­tükki piiravad kaks joont.

Joon. 1.31

Olgu meil tarvis leida sellise kujundi pindala, mida piiravad jooned f (x) ja g (x) ning sirged x = a ja x = b. Kui lõigus [a; b] f (x) ≥ g (x) (joon. 1.31), siis saame otsitava pindala leida kahe kõver­trapetsi pindalade vahena:

S=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx ehk S=\int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx.

Valemi põhjendamiseks kujutage eraldi joonisel 1.31 nii f (x) graafikuga kui ka g (x) graafikuga määratud kõver­trapetsid.

Joon. 1.32

Saadud valem kehtib ka siis, kui mõlemad jooned asuvad allpool x-telge või kui jooned asuvad erineval pool x-telge. Asugu näiteks funktsiooni f (x) graafik kogu lõigus üleval­pool x-telge ja funktsiooni g (x) graafik vahemikus (a; c) allpool x-telge (joon. 1.32). Siis

S=\int_a^cf\left(x\right)dx+\left[-\int_a^cf\left(x\right)dx\right]+\int_c^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = \int_a^c\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\int_c^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx = \int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx.

Näide 3.

Leiame joonisel 1.33 värvitud kujundi pindala. Kõige­pealt leiame integraali alumise raja, milleks on joonte lõike­punkti abstsiss. Viimase leiame võrrandi­süsteemist

y=x2y=1x2, millest x^2=\frac{1}{x^2} ehk \frac{x^4-1}{x^2}=0.

Seega x4 – 1 = 0 ja x = 1 või x = –1.

Järelikult integraali alumine raja a = 1 ja otsitav pindala avaldub järgmiselt:

S=\int_1^2\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx = x33+1x12 = \frac{8}{3}+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{3}+1\right) = \frac{7}{3}-\frac{1}{2} = \frac{11}{6}.

Joon 1.33

Vastus. Kujundi pindala on \frac{11}{6} pindala­ühikut.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 82. Määratud integraal
Joon. 1.34

Teades, et \int_{-1}^1f\left(x\right)dx=c, leidke

  1. \int_1^{-1}f\left(x\right)dx = 
  2. \int_{-3}^{-2}f\left(x\right)dx = 
  1. \int_1^5f\left(x\right)dx = 
  2. \int_0^4f\left(x\right)dx = 
Ülesanne 83. Kujundi pindala
Joon. 1.35 1)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 2)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 3)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 4)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 5)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 6)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 7)

Vastus. S = 

Joon. 1.35 8)

Vastus. S = 

Ülesanne 84. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 85. Kujundi pindala

y=x^2+x-6

Vastus. S = 

y=-x^2+1

Vastus. S = 

y=2x^2+x

Vastus. S = 

y=3e^x, x=0, x=2

Vastus. S = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 86. Kujundi pindala

y=x^3-4x

Vastus. S = 

y=\frac{1+x}{x^3}, x=\frac{1}{3}, x=\frac{1}{2}

Vastus. S = 

Ülesanne 87. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 88. Kujundi pindala

Leidke joontega y=\frac{x^2}{4} ja y=3-\frac{x^2}{2} piiratud kujundi pindala.

Vastus. S = 

Ülesanne 89. Kujundi pindala

y=x^2-2x+2, 2x-y=2, x=0

Vastus. S = 

y=\sqrt{x}, y=x^2

Vastus. S = 

y=x^2+3x-4, y=-x^2+1

Vastus. S = 

xy=2, x+y=-4,5

Vastus. S = 

Ülesanne 90. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 91. Kujundi pindala

Vastus. Need pindalad on .

Ülesanne 92. Kujundi pindala

Leidke joone y = cos x ja x-telje vahelise kujundi pindala lõigus \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right].

Vastus. S = 

Võrrelge tulemust eelmise ülesande vastusega.

Ülesanne 93. Kujundi pindala
Joon. 1.36 1)

Vastus. S = 

Joon. 1.36 2)

Vastus. S = 

Joon. 1.36 3)

Vastus. S = 

Joon. 1.36 4)

Vastus. S = 

Ülesanne 94. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 95. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 96. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 97. Ringi osade pindalade suhe

Parabool y=\frac{3\pi}{16}\left(1-x^2\right) jaotab ringi x2 + y2 = 1 kaheks osaks. Leidke suurema ja väiksema osa pindalade suhe.

Vastus. Ringi suurema ja väiksema osa pindalade suhe on .

Ülesanne 98. Parameetri väärtused

Vastus. k = 

Ülesanne 99. Kujundi pindala

Vastus. S = 

Ülesanne 100. Kaar­hall

Vastus. Kaar­halli mõlema otsa valmistamiseks kulub  m2 plekki.

Ülesanne 101. Vee­kanal

Mitu kuup­meetrit vett voolab kanalist reservuaari 1 sekundiga, kui vee kiirus on 3,5\ \mathrm{\frac{m}{\mathrm{s}}} ja kanal on veega täidetud \frac{3}{4} kõrguselt?

Vastus. Kanalist voolab reservuaari 1 sekundiga  m3 vett.

Ülesanne 102. Silmuse pindala
Joon. 1.37

Vastus. S = 

Ülesanne 103. Pinna­osa pindala

Leidke selle abil \int_0^5f\left(x\right)dx.

Vastus. \int_0^5f\left(x\right)dx = 

Viirutage pinna­osa, mille pindala see integraal esitab.

Seotud sisu
Muud tegevused