Символ arcsin m

Курс „Функции”

Пусть дано некоторое значение m функции синус и требуется найти соответствующий угол в градусах или радианах. Значит, нужно найти такой угол α, что \sin\mathrm{\alpha}=m, причем -1\le m\le1. В случае синуса этот угол α находят из промежутка -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}, так как в этом промежутке sin α принимает все возможные значения от –1 до 1 и каждое значение только по одному разу (см. график функции y=\sin x, рис. 2.52).

Угол α, расположенный в промежутке -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}, или -90\degree\le\mathrm{\alpha}\le90\degree, и такой, что sin α = m, обозначают символом arcsin m, читают: арксинус[cноска: От латинского слова arcus – дуга. Первоначально символ arcsin m означал именно дугу, синус которой равен m, в настоящее же время под этим понимают угол, синус которого равен m.] m. Запись α = arcsin m означает, что α есть угол, синус которого равен m. Таким образом:

arcsin[понятие: Арксинус, arcsin 𝑚 (arkussiinus, arcsin 𝑚) – наименьший по модулю угол, синус которого равен 𝑚.] m есть наименьший по модулю угол, синус которого равен m.
Значит, ​−90° ≤ arcsin m ≤ 90°, или -π2≤arcsin m≤π2.

Из определения следует, что

sin (arcsin m) = m

Пример 1.

На основании последних соотношений можем записать: sin (arcsin 0,8) = 0,8, sin (arcsin(–0,406)) = –0,406.

Пример 2.

Найдем: 1) arcsin 0,5; 2) arcsin (–1).

  1. Так как arcsin 0,5 означает величину принадлежащего отрезку \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] угла, синус которого равен 0,5, то \arcsin0,5=\frac{\pi}{6}, поскольку \sin\frac{\pi}{6}=0,5 и -\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{2}.
  2. Аналогично получим, что \arcsin\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}, поскольку \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 и -\frac{\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{2}.

Ответ: в градусной мере arcsin 0,5 = 30° и arcsin (–1) = –90°.

Для вычисления значений arcsin m на калькуляторе есть клавиша arcsin или клавиша sin–1, либо нужно использовать комбинацию клавиш arc sin или клавиш INV[cноска: INV – сокращение английского слова inverse – обратный.] sin. При этом калькулятор следует установить в требуемый режим работы: с радианами или же с градусами.

Пример 3.

Вычислим arcsin 0,3647.

В зависимости от типа калькулятора вычисления пойдут по одной из следующих четырех схем: sin–1 0,3647 =, 0,3647 arcsin, 0,3647 sin–1, 0,3647 arc sin или 0,3647 INV sin.

В результате после округления получим 0,3733.

Значит, arcsin 0,3647 ≈ 0,3733. И в самом деле, sin 0,3733 ≈ 0,3647.

Пример 4.

Найдем \cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right).

Сначала найдем с помощью калькулятора \arcsin\frac{2}{3}, а затем вычислим значение косинуса полученного результата (угла): \cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right)\approx0,7454.

More like this
More options

Упражнения

\arcsin\ 1 = 

\arcsin\ \frac{\sqrt{3}}{2} = 

\arcsin\ 0 = 

\arcsin\ 0,5 = 

\arcsin\ 0,5\sqrt{2} = 

\arcsin\ \left(-1\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{3}\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{2}\right) = 

\arcsin0,5073 ≈  рад ≈ 

\arcsin2 ≈  рад ≈ 

\arcsin\left(-0,982\right) ≈  рад ≈ 

\arcsin0,0076 ≈  рад ≈ 

\arcsin0,42 ≈  рад ≈ 

\arcsin\left(-0,2072\right) ≈  рад ≈ 

\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin\frac{1}{2} =  рад = 

\arcsin0,0227+\arcsin\left(-0,8908\right) =  рад = 

\arcsin1+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} =  рад = 

\arcsin\left(-0,5\right)-\arcsin\left(-0,5\sqrt{2}\right) =  рад = 

\arcsin x=\frac{\pi}{3}
x = 

\arcsin x=\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin x=-0,7854
x ≈ 

\arcsin x=0,5236
x ≈ 

\arcsin\left(x+1,2\right)=-\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin\left(2x-3\right)=\frac{5\pi}{36}
x ≈ 

\sin\left(\arcsin0,5\right) = 

\sin\left(\arcsin\left(-1\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin0,8\right) = 

\cos\left(\arcsin\left(-0,6\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin5\right) = 

\tan\left(\arcsin0,7\right) = 

More like this
More options