Функция тангенс

Курс „Функции”

Область определения функции y = tan x состоит из интервалов

…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, …

другими словами, ее областью определения является множество R действительных чисел, за исключением чисел (точек) вида \left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, где n ∈ Z.

Множеством значений функции тангенс является множество R всех действительных чисел, т. е. -∞<\tan x<+∞.

Из соотношения \tan\left(-x\right)=-\tan x вытекает, что

и потому

График функции тангенс (рис. 2.56) можно построить по точкам или с помощью компьютера. Этот график называется тангенсоидой[понятие: Тангенсоида (tangensoid) – название графика функции тангенс.].

График функции тангенс показывает, что

Следовательно, для любого угла α выполнено равенство

В точках оси абсцисс x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, n ∈ Z, график функции y = tan x имеет разрывы. Тангенсоида состоит из отдельных непрерывных линий, называемых ветвями тангенсоиды. Каждая из ветвей имеет две вертикальные асимптоты (они изображены пунктирными прямыми). Уравнения асимптот можно записать в виде

x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, где n ∈ Z.

Функция y = tan x является возрастающей на каждом из интервалов, из которых состоит ее область определения, т. е. ее интервалами возрастания являются X\uparrow=\left(-\frac{\pi}{2}+n\pi;\ \frac{\pi}{2}+n\pi\right), n ∈ Z. Интервалы убывания отсутствуют.