Tekstülesannete lahendamine

Matemaatiline mudel
Liikuva objekti keskmise kiiruse, aja ja läbitud tee leidmine ning tulemuse kontrollimine

More like this

Algebralisi mõtisklusi

A ja B

A-l on a ja B-l on b võrra rohkem.
B-l on

$b$
$2 a$
$a + b$

A-l on 2a ja B-l on kahe võrra rohkem.
B-l on

$3 a$
$2 a + 2$
$4 a$

A-l on a ja tal on (b + 5) võrra rohkem kui B-l.
B-l on

$a + b + 5$
$a - b - 5$
$a - b + 5$

A-l on (4 + a) ja tal on a võrra vähem kui B-l.
B-l on

$2 a + 4$
4
$8 + a$

A-l on 2a ja B-l on (3 + a).
Mitu on A-l rohkem?

$a - 3$
$a$
$a + 3$

A-l on 2a ja B-l on 6b.
Mitu on A-l vähem?

$6 b - 2 a$
$2 a - 6 b$
$2 a + 6 b$

A-l on 4a ja B-l on (b – a).
Mitu on neil kokku?

$4 a b - 4 a^{2}$
$5 a - b$
$3 a + b$

A-l on a ja B-l on 3a korda rohkem.
Mitu on B-l?

$4 a$
$3 a^{2}$
$4 a^{2}$

A-l on a ja B-l on 2a korda vähem.
Mitu on B-l?

$a$
$0,5 a$
$0,5$

A-l on 15, tal on a korda rohkem kui B-l.
Mitu on B-l?

$15 - a$
$15 a$
$\frac{15}{a}$

A-l on (3 + a), tal on a korda vähem kui B-l.
Mitu on B-l?

$3 a + a^{2}$
$3 + 2 a$
$\frac{3 + a}{a}$

A-l on (a + b) ja B-l on 3a.
Mitu korda on A-l vähem?

$\frac{3 a}{a + b}$
$3 a (a + b)$
$\frac{a + b}{3 a}$

A ja B kõõlusid katuseharjal. A kukkus alla, B kukkus alla. Mis jäi katuseharjale?

Vastus

More like this

Mudelid matemaatikas

Matemaatiline mudel

Mingit protsessi kirjeldavat võrrandisüsteemi (või võrrandit) nimetatakse selle protsessi matemaatiliseks mudeliks.

Üks ja seesama matemaatiline mudel võib kirjeldada paljude valdkondade protsesse, mille sisemised seosed on sarnased.

Märka

Tekstülesannete lahendamisel

Kõik tekstiga seotud muutujad tähistatakse, olenemata nende arvust, mis võib olla suhteliselt suur.
Kirjutatakse välja vajalik arv elementaarseid võrdusi, kus kahe suuruse korrutis võrdub kolmandaga.
Tekib matemaatiline mudel – võrrandisüsteem, millest kõrvaldatakse asendusvõttega järjest muutujaid, kuni saadakse ühe tundmatuga võrrand.

Näited

Takistuste seost takistite rööpühenduse korral kirjeldab samasugune mudel, nagu on aegade seos samaaegses protsessis.

Rööpühendus

Vaatleme kahe takisti R₁ ja R₂ rööpühendust. Olgu rööpühenduse kogutakistus R, vool läbi selle tugevusega I ja pingelangus sellel U.

Vool läbi takistite R₁ ja R₂ olgu vastavalt tugevusega

I₁ ja I₂, siis
I₁ + I₂ = I.

Kehtib võrrandisüsteem

$\{\begin{cases} I_{1} R_{1} = U \\ I_{2} R_{2} = U \\ (I_{1} + I_{2}) R = U \end{cases} .$

Avaldame esimesest võrrandist I₁ ja teisest I₂ ning asendame nendega voolutugevused kolmandas võrrandis.

$(\frac{U}{R_{1}} + \frac{U}{R_{2}}) R = U | : UR$

$\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{1}{R}$

Basseini täitmine

Olgu tegemist basseiniga, mis täitub kahe toru kaudu. Tähistame vee voolukiiruse esimeses torus tähega u ja teises torus tähega v.
Olgu basseini täitumise aeg kahe toru kaudu t ning esimese või teise toru kaudu eraldi vastavalt t₁ ja t₂.

Tähistame basseini mahu tähega b. Et vee voolukiirus läbi kahe toru korraga on (u + v), saame kolme võrrandiga süsteemi.

$\{\begin{cases} u t_{1} = b \\ v t_{2} = b \\ (u + v) t = b \end{cases}$

Avaldame kahest esimesest võrrandist u ja v ning asendame kolmandasse võrrandisse.

$(\frac{b}{t_{1}} + \frac{b}{t_{2}}) t = b | : b t$

$\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}} = \frac{1}{t}$

Olgu esimesel voolikul tünni täitmise kiirus u ja teisel v. Esimene voolik täidaks üksi tünni t minutiga. Täida tabel ja kasuta lahendades näites olevat mudelit.

u
t
t + 15
u + v
1
v
10

	Kiirus	Täitmise aeg	Töömaht
I voolik
II voolik
Koos

Vastus

Esimese vooliku kaudu täituks tünn minutiga.

More like this

Autod ja rongid

Märka

s = v ⋅ t

$v = \frac{s}{t}$ ja $t = \frac{s}{v}$

v on keskmine kiirus,
s on läbitud tee pikkus,
t on liikumise aeg

Näide 1

Auto sõidab ühest linnast teise ning läbib 225 km pikkuse vahemaa. Kui auto kiirus oleks 15 km/h võrra väiksem, jõuaks ta kohale pool tundi hiljem. Leiame auto kiiruse kahel viisil.

Esimene lahendus

I Andmed ja võrrandisüsteemi koostamine

Olgu auto kiirus v km/h ja sõiduaeg t tundi. Kui auto kiirus oleks väiksem, seega (v –15) km/h, siis sõiduaeg oleks (t +0,5) tundi. Koostame liikumist kirjeldava tabeli.

Kiirus km/h	Sõiduaeg h	Vahemaa km
v	t	225
v – 15	t + 0,5	225

Saame koostada võrrandisüsteemi.

$\{\begin{cases} v t = 225 \\ (v - 15) (t + 0,5) = 225 \end{cases}$

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

II Võrrandisüsteemi lahendamine

$\{\begin{cases} v t = 225 \\ (v - 15) (t + 0,5) = 225 \end{cases}$

Avame teises võrrandis sulud.

vt – 15t + 0,5v – 7,5 = 225

Asendame esimesest võrrandist korrutise vt väärtuse 225 teise võrrandisse ja avaldame tundmatu v.

225 – 15t + 0,5v – 7,5 = 225
0,5v = 15t + 7,5
v = 30t + 15

Asendame esimes võrrandis v avaldisega 30t + 15 ja saame ruutvõrrandi.

(30t + 15)t = 225
2t² + t – 225 = 0
t = 2,5 (tundi)

Arvutame kiiruse v. Kui t = 2,5 tundi, siis

v = 30 ⋅ 2,5 + 15 = 90 (km/h).

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

III Kontroll ja vastus

Kui auto kiirus on 90 km/h, siis kulub tal 225 km läbimiseks

t = 225 : 90 = 2,5 (tundi).

Kui auto kiirus oleks 15 km/h võrra väiksem,
90 – 15 = 75 km/h,
siis kuluks tal sama tee läbimiseks

t = 225 : 75 = 3 (tundi).

See aga on 3 – 2,5 = 0,5 tundi rohkem, kui suurema kiiruse korral.

Vastus

Auto kiirus on 90 km/h.

Teine lahendus

Olgu auto kiirus v km/h.
225 km läbimiseks kuluks autol

$t_{1} = \frac{225}{v}$ tund).

Kui auto kiirus oleks väiksem, siis sõidaks ta (v –15) km/h.
Sellise kiirusega kuluks autol 225 km läbimiseks

$t_{2} = \frac{225}{v - 15}$ (tundi.

Kuna väiksema kiirusega kulub aega 0,5 tundi rohkem, siis

t₂ – t₁ = 0,5

Saame murdvõrrandi

$\frac{225}{v - 15} - \frac{225}{v} = 0,5 .$

Pärast murdvõrrandi lahendamist jõuame samale tulemusele mis võrrandisüsteemi korral.

Näide 2

Rong sõidab ühest jaamast teise. Kui rongi kiirus oleks 15 km/h võrra väiksem, siis jõuaks rong 24 minutit hiljem kohale. Kui aga rongi kiirus oleks 10 km/h võrra suurem, siis jõuaks see 12 minutit varem teise jaama. Leiame rongi kiiruse ja jaamadevahelise kauguse. Vaatame kahte lahendust.

Esimene lahendus

I Andmed

Olgu rongi kiirus v km/h,
sõiduaeg t tundi ning
jaamadevaheline kaugus s km.
Kui kiirust väheneda, on see (v – 15) km/h ja
sõiduaeg (t + 0,4) tundi.
Kui kiirust suureneda, on see (v + 10) km/h ja
sõiduaeg (t – 0,2) tundi.

Kanname andmed tabelisse.

Kiirus km/h	Sõiduaeg h	Vahemaa km
v	t	s
v – 15	t + 0,4	s
v + 10	t – 0,2	s

Koostame võrrandisüsteemi.

$\{\begin{cases} v t = s \\ (v - 15) (t + 0,4) = s \\ (v + 10) (t - 0,2) = s \end{cases}$

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

II Lahendamine

$\{\begin{cases} v t = s \\ (v - 15) (t + 0,4) = s \\ (v + 10) (t - 0,2) = s \end{cases}$

1. Avame sulud teises ja kolmandas võrrandis.

$\{\begin{cases} vt - 15 t + 0,4 v - 6 = s \\ vt + 10 t - 0,2 v - 2 = s \end{cases}$

Asendame vt = s ja lihtsustame.

$\{\begin{array}{r} -15 t & + & 0,4 v & = & 6 \\ 10 t & - & 0,2 v & = & 2 \end{array}$

Lahendame saadud süsteemi.

$\{\begin{cases} t = 2 \\ v = 90 \end{cases}$

Arvutame jaamadevahelise kauguse.
Kui rongi kiirus on 90 km/h ja sõiduaeg 2 tundi, on jaamadevaheline kaugus

90 ⋅ 2 = 180 (km).

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

III Kontroll ja vastus

Rongi tegelik sõiduaeg on t = 180 : 90 = 2 tundi.
Kui kiirus oleks 90 – 15 = 75 km/h, siis oleks sõiduaeg

t₁ = 180 : 75 = 2,4 (tundi)
ehk 2 h 24 min,
mis on t₁ – t = 24 minutit kauem kui tegelikult.

Kui kiirus oleks 90 + 10 = 100 km/h, siis sõiduaeg oleks

t₂ = 180 : 100 = 1,8 (tundi)
ehk 1 h 48 min,
mis on t – t₂ = 12 minutit vähem kui tegelikult.

Vastus

Rongi kiirus on 90 km/h ja jaamadevaheline kaugus 180 km.

Teine lahendus*

Olgu rongi kiirus v km/h, läbitud tee s km ja aeg t tundi.
Avaldame rongi sõiduajad.

$t = \frac{s}{v}$
$t + 0,4 = \frac{s}{v - 15}$
$t - 0,2 = \frac{s}{v + 10}$

Asendame $t = \frac{s}{v}$ ja saame võrrandisüsteemi.

$\{\begin{cases} \frac{s}{v} + 0, 4 = \frac{s}{v - 15} \\ \frac{s}{v} - 0, 2 = \frac{s}{v + 10} \end{cases}$

Jagame mõlemad võrrandid s-ga.

$\{\begin{cases} \frac{1}{v} + \frac{0,4}{s} = \frac{1}{v - 15} \\ \frac{1}{v} - \frac{0,2}{s} = \frac{1}{v + 10} \end{cases}$

Korrutame teise võrrandi 2-ga ja liidame võrrandid. Saame murdvõrrandi.

$\frac{3}{v} = \frac{1}{v - 15} + \frac{1}{v + 10}$

Lahendame murdvõrrandi.

v = 90 (km/h)

*Saadud süsteemi ja sealjuures murdvõrrandi lahendamiseks peab päris palju vaeva nägema ja seetõttu seda lahenduskäiku ei soovitata.

Vastus

Autol kulub ühest linnast teise sõitmiseks 2 h 40 min.

Kontroll

Et autol kulub sõitmiseks $\frac{}{}$ tundi, on ta kiirus

240 : aeg = km/h.

Bussi kiirus on auto kiirusest 10 km/h ehk km/h.
Bussi sõiduaeg on

240 : kiirus =
tundi, mis on auto sõiduajast

– 2 h 40 min =

More like this

Edasi-tagasi

Paadiga jõel

Paat sõidab mööda jõge, mille voolukiirus on 3 km/h, 60 km vastuvoolu ja siis jälle tagasi alguspunkti. Edasi-tagasisõidule kulub paadil 4,5 tundi. Leiame paadi kiiruse seisvas vees.

Paadi kiirus on

seisvas vees v km/h,
vastuvoolu (v – 3) km/h,
allavoolu (v + 3) km/h.

Kanname andmed tabelisse.

Sõit	Kiirus km/h	Vahemaa km	Aeg h
Vastuvoolu	v – 3	60	t₁
Allavoolu	v + 3	60	t₂

Kokku kulub aega
t₁ t₂ = 4,5 tundi.

Aja avaldame teepikkuse ja kiiruse kaudu ning saame murdvõrrandi.

$\frac{}{} + \frac{}{} =$

Vastus

Paadi kiirus seisvas vees on km/h.

Kontroll

Kui paadi kiirus on km/h, siis liigub ta vastuvoolu kiirusega km/h ning 60 km sõiduks kulub aega
t₁ = tundi.
Allavoolu liigub paat kiirusega km/h ning 60 km sõiduks kulub aega
t₂ = tundi.
Kokku kulub sõiduks aega 4,5 tundi.

Paadi kiirus on

seisvas vees v km/h,
vastuvoolu (v – 3) km/h,
allavoolu (v + 3) km/h.

Paadi sõiduaeg on

vastuvoolu t tundi,
allavoolu (4,5 – t) tundi.

Koostame tabeli.

Sõit	Kiirus km/h	Aeg h	Vahemaa km
Vastuvoolu	v – 3	t	60
Allavoolu	v + 3	4,5 – t	60

Koostame kahe võrrandiga võrrandisüsteemi, mille lahendamiseks võib kasutada asendusvõtet.

$(v + 3) (4,5 - t) = 60$
$vt = 60$
$(v + 3) t = 60$
$(v - 3) (4,5 - t) = 60$
$(v - 3) t = 60$
$(v + 3) (v - 3) = 60$

Sobivad lahendid on

t = h ja
v = km/h.

Vastus

Paadi kiirus seisvas vees on 27 km/h.

Märka

Kui ujuda vastuvoolu või lennata vastutuult, siis tuleb tavapärasest kiirusest lahutada vee voolu või tuule kiirus.
Kui ujuda pärivoolu või lennata taganttuulega, siis tuleb tavapärasele kiirusele liita vee voolu või tuule kiirus.

Vastus

Paadi kiirus seisvas vees on km/h.

Kontroll

Paat sõidab allavoolu kiirusega km/h ja vastuvoolu km/h.
Sõiduaeg allavoolu on tundi ja vastuvoolu tundi.
Kokku kulub aega tundi ehk 5 h 30 min.

More like this

Harjuta ja treeni

A-l on 5a, B-l on a võrra rohkem kui A-l ning C-l a korda rohkem kui A-l ja B-l kokku.
Kui palju on kolmel kokku?

$11 a (a + 1)$
$22 a$
$6 a^{2} + 6 a$

A liigub a km/h, B liigub b km/h kiiremini. Nad hakkavad liikuma ühel ajal.
Kumb jõuab enne kohale?

A
B
Jõuavad ühel ja samal ajal.

A-l kulub sihtpunkti jõudmiseks a tundi, B aeg sama pika tee läbimiseks on b tundi suurem. Nad hakkavad liikuma ühel ajal.
Kumb jõuab enne kohale?

A
B
Jõuavad ühel ja samal ajal.

2ab km jooksul liigub A a km b tunniga. B alustab hiljem ja liigub b km a tunniga. Nad jõuavad kohale korraga.
Kui palju hiljem alustas B?

$b - a$
$2 a^{2} - 2 b^{2}$
$2 b^{2} - 2 a^{2}$

Saadud üksliikmed ja kaksliikmed kirjuta normaalkujul. Murdarvud kirjuta kümnendmurruna ja jagamistehet ära kasuta.

Tegevus	Tulemus
Suurenda 20 võrra
Vähenda 20 korda
Vähenda 20 võrra
Suurenda 20 korda
Suurenda 20%
Vähenda 20%

Auto sõitis kogu oma teekonnast 15 minutit ühtlase kiirusega ning seejärel alandas kiirust 20 km/h võrra ning sõitis järgmised 40 minutit ühtlase kiirusega. Kokku läbis auto 65 km.

Olgu auto kiirus 15 min ( h) jooksul v km/h.
Selle kiirusega sõitis auto s kilomeetrit.
Järgmise 45 min ( h) jooksul oli auto kiirus
km/h.
Selle kiirusega sõitis auto
km, sest kokku läbis ta 65 km.
Nende andmete põhjal saab koostada võrrandisüsteemi kahest võrrandist:

$0,25 v = s$
$0,25 s = v$
$0,75 (20 - v) = 65$
$(65 - s) (v - 20) = 0,75$
$0,75 (v - 20) = 65 - s$
$0,75 v = s + 65$

Pärast võrrandisüsteemi lahendamist selgub, et

$\{\begin{cases} s = \\ v = \end{cases}$ .

Kontrolli tulemust.

Vastus

Esimesel teeosal oli auto kiirus
v₁ = km/h ja teisel teeosal
v₂ = km/h.

Kaks töölist pidid töö ära tegema 7 päevaga, kusjuures teine alustas tööd 1,5 päeva hiljem. Mitme päevaga teeks selle töö kumbki tööline üksi töötades, kui on teada, et hiljem alustanud tööline võib selle töö üksi ära teha 3 päeva kiiremini kui esimene?

Täida tabel ja koosta selle järgi murdvõrrand.

	I tööline	II tööline
Üksi töötades kuluks päevi
Mitu osa ühes päevas
7 päevaga üksi
5,5 päevaga üksi		$\frac{5,5}{x} = \frac{11}{2 x}$ osa
Kokku 1 töö

Lahenda võrrand

$\frac{7}{}$ $\frac{11}{2 x}$ =

Vastus

Esimene tööline teeks selle töö üksi päevaga ja teine päevaga.

Korteri kommunaalkuludest neljandik kulus kütte eest maksmiseks, üle jäänud rahast $\frac{4}{9}$ läks maksma elekter ja sellest üle jäänud 100 euroga maksti ära vee ning prügiveo arve.

Olgu kommunaalkulud kokku k eurot.
Kui kulud küttele olid $\frac{1}{4}$ k-st, siis elekter, vesi ja prügi moodustasid $\frac{}{}$ k-st.

Liida kokku kulud küttele, elektrile ning veele ja prügile. Võrdsusta summa k-ga ja lahenda saadud võrrand.

Vastus

Kommunaalkulud olid kokku eurot.

Kauplusse toodud 600 kg apelsinidest müüdi esimesel päeval 25%, teisel päeval 50% ülejäägist ja kolmandal päeval 40% uuest ülejäägist. Mitu protsenti apelsinidest oli alles kolmanda päeva õhtuks?

	Müük kg	Jääk kg
1. päev
2. päev
3. päev

Viimane jääk näitab, mitu kilogrammi apelsine

jäi müümata.
müüdi kolmandal päeval.
müüdi kolme päevaga.

Vastus

Müümata jäi kg apelsine, see moodustab kauplusse toodud apelsinidest %.

Kauplusse toodud apelsinidest müüdi esimesel päeval 25%, teisel päeval 50% ülejäägist ja kolmandal päeval 40% uuest ülejäägist. Mitu protsenti apelsinidest oli alles kolmanda päeva õhtuks?

Kauplusse toodud apelsinide kogus olgu a.

	Müük	Jääk
1. päev	a	a
2. päev	a	a
3. päev	a	a

Viimane jääk näitab, kui suur osa apelsinidest

jäi müümata.
müüdi kolmandal päeval.
müüdi kolme päevaga.

Vastus

Müümata jäi % apelsinidest.

Kahe arvu summa on 149. Kui ühte arvu suurendada 50% võrra ja teist vähendada 20% võrra, siis on esimese ja teise arvu vahe 28. Leia need arvud.

Olgu esimene arv x ja teine y. Nende summa on võrrand
x + y = .
Kui arvu x suurendada 50%, saame arvu .
Kui arvu y vähendada 20%, saame arvu .
Nende vahe on võrrand
– = 28.

Punktides 1 ja 4 saadud võrrandid moodustavad võrrandisüsteemi, mille lahenditeks on otsitavad arvud.

Vastus

Esimene arv on ja teine arv .

Kahel töölisel tõsteti palka. Esimese palk tõusis 10% ja teise palk 1200 eurolt 1296 euroni. Kokku kasvas nende palk 8,8%.

Olgu esimese töölise palk enne tõusu x eurot ja kahe töölise palk kokku p eurot.

	I tööline	II tööline	Kokku
Palk enne			p
Palk pärast			p

Koosta tabeli andmete järgi võrrandisüsteem ning lahenda see.

Vastus

Esimese töölise palk enne palgatõusu oli eurot.

Kujundid

Ristküliku pikkus on laiusest 5 cm võrra suurem. Kui laiust suurendada 3 cm võrra, siis pindala suureneb 90 cm² võrra.

Lahendus

Esialgse ristküliku pindala on
b = –
Vali roheliste ristkülikute pindalade õiged avaldised.

Lahuta suuremast pindalast väiksem.

$ab + 3 a - ab - 5 b = 90$
$ab - 3 a - ab = 90$
$ab - 3 a + ab = 90$
$ab + 3 a - ab = 90$

Vastus

Ristküliku pikkus on cm ja laius cm.

Rombi diagonaalide summa on 68 cm ja külg 26 cm.

Lahendus

Tähistame:

d₁ = 2x
d₂ = 2y

Leia kaks võrrandit.

$x^{2} + y^{2} = 26$
$2 x + 2 y = 34$
$x^{2} + y^{2} = 68$
$2 x + 2 y = 26$
$x + y = 34$
$x^{2} + y^{2} = 676$
$x + y = 68$
$x^{2} + y^{2} = 1156$

Lahenda märgitud võrranditest moodustatud ruutvõrrandisüsteem.

Kui x < y, siis $\{\begin{cases} x = \\ y = \end{cases} .$

Vastus

Rombi pikem diagonaal on cm ja lühem cm.

Sobivad võrrandid

Kolmnurga pindala, kui alus on $a .$
Kolmnurga pindala, kui alus on $b .$
Pythagorase teoreem, kui hüpotenuus on $a .$
Pythagorase teoreem, kui hüpotenuus on kõrgus.
Pythagorase teoreem, kui hüpotenuus on $b .$
Kolmnurga pindala, kui alus on 9,6 ja kõrgus 8.

Vastus cm

12; 12; 10
10; 10; 9
10,56; 10,56; 8,8*
9; 9; 12
10; 10; 12
12,6; 12,6; 10,8*
12; 12; 9
12,8; 12,8; 10,56*

* ligikaudsed vastused

Kontroll

Kontroll täisarvulise vastusega.
- Kui kolmnurga alus on cm ja kõrgus cm, siis kolmnurga pindala on cm².
- Kui kolmnurga haar on cm ja sellele tõmmatud kõrgus cm, siis kolmnurga pindala on cm².
Kontroll ligikaudse vastusega.
- Kui kolmnurga alus on cm ja kõrgus cm, siis kolmnurga pindala on ligikaudu cm².
- Kui kolmnurga haar on cm ja sellele tõmmatud kõrgus cm, siis kolmnurga pindala on ligikaudu cm².

Koosta võrrandisüsteem kahest võrrandist.

$xy = 12$
$0,5 (x + y) = 12$
$0,5 xy = 12$
$xy = 144$
$x + y = 20$
$xy = 20$
$x + y = 40$
$xy = 400$

Vastus

Need arvud on

24
12
2
36
6
4
8
18
72

Märka

Mittenegatiivsete arvude x ja y

aritmeetiline keskmine $\frac{x + y}{2}$
geomeetriline keskmine $\sqrt{x y}$

Kehtib võrratus $\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$

Kui kolmnurga küljed on a, b ja c, siis
$\{\begin{cases} a + b = 27 \\ a + c = 28 \\ b + c = 29 \end{cases} .$
Liida võrrandid ja leia kolmnurga ümbermõõt.
P = cm
Leia kolmnurga küljed.
- a = P – (b + c) = cm
- b = P – (a + c) = cm
- c = P – (a + b) = cm

Uude elamurajooni ehitati kolme korteriga maja, kus on kokku 15 tuba. Korterites nr 1 ja nr 3 on kokku üks tuba rohkem kui korteris nr 2. Korteris nr 1 on kaks korda vähem tubasid kui korterites nr 2 ja nr 3 kokku.

Lahendus

1. Koosta võrrandisüsteem kolmest võrrandist, kui korterites 1, 2 ja 3 on vastavalt x, y ja z tuba.

$x + y + z = 15$
$x + y = 2 z$
$y + z = z - 2$
$x + z = y$
$x + z = y + 1$
$y + z = 2 x$
$x + y = z + 1$
$x + z = y - 1$
$y + z = \frac{x}{2}$

2. Teisenda võrrandisüsteem normaalkujule ja kirjuta välja võrrandisüsteemi laiendatud maatriks (võrrandite järjekord on sama mis tekstis).

1
–1
2
0
15
–2

3. Lahenda võrrandisüsteem Gaussi meetodiga või asendusvõttega.

Vastus

Korteris nr 1 on ,
korteris nr 2 on ja
korteris nr 3 on tuba.

More like this

Jäta meelde

$v$ – kiirus

$t$ – aeg

$s$ – teepikkus

$v = \frac{s}{t}$
$s = vt$
$t = \frac{s}{v}$
$v = \frac{t}{s}$
$v = st$
$s = \frac{v}{t}$
$s = \frac{t}{v}$
$t = sv$
$t = \frac{v}{s}$

More like this

Service provided by Star Cloud LLC

Join Opiq

Opiq score

	Tasks
	Chapter is studied

Tekstülesannete lahendamine

More like this

Algebralisi mõtisklusi

A ja B

Vastus

More like this

Mudelid matemaatikas

Matemaatiline mudel

Märka

Tekstülesannete lahendamisel

Näited

Rööpühendus

Basseini täitmine

Vastus

More like this

Autod ja rongid

Märka

Näide 1

Esimene lahendus

I Andmed ja võrrandisüsteemi koostamine

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

II Võrrandisüsteemi lahendamine

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

III Kontroll ja vastus

Vastus

Teine lahendus

Näide 2

Esimene lahendus

I Andmed

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

II Lahendamine

Jätkub järgmisel slaidil.

Esimene lahendus

III Kontroll ja vastus

Vastus

Teine lahendus*

*Saadud süsteemi ja sealjuures murdvõrrandi lahendamiseks peab päris palju vaeva nägema ja seetõttu seda lahenduskäiku ei soovitata.

Vastus

Kontroll

More like this

Edasi-tagasi

Paadiga jõel

Vastus

Kontroll

Vastus

Märka

Vastus

Kontroll

More like this

Harjuta ja treeni

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Vastus

Kujundid

Lahendus

Vastus

Lahendus

Vastus

Vastus cm

* ligikaudsed vastused

Kontroll

Vastus

Märka

Lahendus

Vastus

More like this

Jäta meelde

More like this

Add content

Files to be added

Report Mistake

Only report errors related to the functionality or content of Opiq. Please describe the error as precisely as possible.

If you agree to share additional info, add your contact data (e-mail, phone).