Massi olenevus kiirusest

Kui kiirendame keha korduvalt või kaua aega järjest, siis tuleb meil igal uuel aja­vahemikul lisandunud kiirus liita eelnevaga, rakendades relativistlikku kiiruse liitumise valemit. Seejuures näeme, et kiirus läheneb küll valguse kiirusele, kuid ei saavuta seda, rääkimata ületamisest. See tähendab, et ükskõik kui suure jõuga me keha liikumist kiirendame, peab tema kiirendus hakkama vähenema kiiruse lähenemisel valguse kiirusele. Meil tuleb nüüd seletada, miks raskeneb keha edasine kiirendamine. Loomulik seletus oleks, et meie jaoks kasvab keha mass järjest, mistõttu tema kiirendamine vastavalt Newtoni teisele seadusele vajab järjest suuremat jõudu.

Saabki tõestada, et kiiruse kasvades kasvab keha mass võrdeliselt tuntud kinemaatilise teguriga:

$$ m=\gamma m_0,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$$

m₀ on siin keha mass inertsiaal­süsteemis, kus keha seisab paigal – nn seisumass. Liikuva keha mass on alati suurem. Näiteks miljoni­voldise pingega kiirendatud elektron on umbes kolm korda suurema massiga kui paigal­seisev.

Klassikalises füüsikas on mass jääv suurus. Nüüd aga näeme, et pannes keha liikuma, täiendame tema massi. Tegelikult lisame talle energiat, mis on teada­olevalt ka jääv suurus. Nähtavasti lisatud kineetiline energia annabki lisa­massi. Kui nii, siis on nad võrdelised:

E_kin = m_kink, kus m_kin on lisandunud mass.

Nimetame selle kineetiliseks massiks:

m_kin = m – m₀ = γm₀ – m₀ = m₀(γ – 1).

Leiame, millega võrdub tegur k. Keha kineetiline energia sõltub kiirusest, kuid mitte enam valemiga E_kin = mv² / 2, sest siis oleks ta piiratud, on ju kiirus piiratud valguse kiirusega c. Tänu massi kasvule võib keha energia piiramatult kasvada. Arvutame energia kineetilise massi kaudu:

E_kin = m₀(γ – 1)k.

Väikeste kiiruste juhul kasutame γ jaoks ligikaudset valemit (vt „Aja dilatatsioon”)

$$ \gamma =1+\frac{v^2}{2c^2}.$$

Asendame selle eelmisse valemisse:

$E_{kin}\approx m_0\frac{v^2}{2c^2}k.$

Näeme, et saame väikeste kiiruste jaoks õige (klassikalise) kineetilise energia valemi, kui võtame

k = c².

See ongi kordaja, mis omistab kineetilisele energiale massi:

E_kin = m_kin c².