Линейное уравнение с двумя неизвестными и его решение

ax + by = c.

Приведем к стандартному виду уравнение $\frac{1 + 4x}{2}+y=\frac{5y + 7}{4}$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 4:

$\frac{1 + 4x}{2}+y=\frac{5y + 7}{4}|·4$

$\frac{{\displaystyle \stackrel{2}{\cancel{4}}}\left(1 + 4x\right)}{{\displaystyle \underset{1}{\cancel{2}}}}+4y=\frac{\stackrel{1}{\cancel{4}}\left(5y + 7\right)}{\underset{1}{\cancel{4}}}$

2 + 8x + 4y = 5y + 7

Затем перенесем члены, содержащие неизвестные, в левую часть уравнения, а свободные члены – в правую и выполним приведение подобных слагаемых. Получим:

8x + 4y – 5y = 7 – 2

8x – y = 5

Последнее уравнение записано в стандартном виде и равносильно исходному уравнению.

Пусть дано уравнение 2x – y = 5. Так как это уравнение содержит два неизвестных x и y, то оно может обратиться в справедливое равенство только если мы выберем пару чисел. Таким образом, всякое решение уравнения является парой чисел. Например, для пары чисел x = 3, y = 1 уравнение обращается в верное равенство 2 · 3 –1 = 5. Следовательно, найденная пара чисел является решением рассматри­ваемого уравнения. Попробуем найти еще какие-то решения урав­нения. Для этого выразим в этом уравнении одно из неизвестных (на­пример, у) через другое, придадим неизвестному x какие-нибудь произвольные значения и вычислим соответствующие значения у. Получим:

–y = 5 – 2x

y = 2x – 5

Пусть x принимает, например, значения –2; 0,5; 4. Тогда получим:

если x = –2, то y = –9;
​если x = 0,5, то y = –4;
​если x = 4, то y = 3.

Мы нашли еще три пары чисел, которые удовлетворяют уравнению 2x – y = 5, т. е. являются его решениями.

Следовательно, мы нашли уже четыре решения данного уравнения. Эти решения часто записывают, объединяя числа каждой пары логической скобкой:

Столь же удобно записывать решения просто в виде упорядоченных пар чисел: (–2; –9), (0,5; –4), (3; 1), (4; 3). При этом значение неизвестного x пишут на первом месте, а значение y – на втором, т. е. в алфавитном порядке неизвестных.