Что нового мы изучим? Пересечение двух прямых третьей

Что нового мы изучим?

Хорошо усвоив материал этой главы, ты будешь знать, что означают следующие термины и выражения:

внутренние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, средняя линия треугольника, медиана треугольника, трапеция, средняя линия трапеции;

а также знать:

– признаки параллельности двух прямых,
– соотношение между внутренними односторонними и внутренними накрест лежащими углами,
– свойства средней линии треугольника,
– свойства медиан треугольника,
– свойства средней линии трапеции,
– формулу площади трапеции;

а также научишься:

– самостоятельно доказывать
свойство суммы внутренних углов треугольника,
свойства средней линии треугольника,
свойства средней линии трапеции,
формулу площади трапеции;
– применять изученное при решении задач.

More like this

Пересечение двух прямых третьей

Если две прямые s и t пересечены третьей прямой u, то образуются 8 углов (рис. А). По свойству вертикальных углов ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ∠6 = ∠8 и ∠5 = ∠7. Поэтому вместо всех восьми углов достаточно рассмотреть лишь четыре угла, обозначенные на рисунке Б греческими буквами α, β, γ и δ. Эти углы мы будем далее рассматривать попарно так, чтобы вершина одного из углов находилась в одной точке пересечения прямых, а вершина другого – в другой точке пересечения прямых. Прямую u, пересекающую прямые s и t, называют по отношению к этим прямым секущей.

α – альфа
β – бета
γ – гамма
𝛿 – дельта

Два угла, внутренние области которых находятся по одну сторону от секущей и стороны которых, расположенные на секущей, направлены навстречу друг другу, называются внутренними односторонними углами. На рисунке Б внутренними односторонними углами являются α и δ, а также β и γ.

Два угла, внутренние области которых находятся по разные стороны от секущей и стороны которых, расположенные на секущей, направлены навстречу друг другу, называются внутренними накрест лежащими углами. Таковы углы α и γ, а также β и δ на рисунке Б.

Внутренние односторонние углы

Внутренние накрест лежащие углы

Рассматриваемые пары углов находятся в определенных отношениях, выраженных следующими теоремами.

1. Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Условие. α = β.

Заключение. γ = 𝛿.

Доказательство.

γ = 180° – α, так как α и γ – смежные углы.
δ = 180° – β, так как β и δ – смежные углы.
γ = δ, что следует из пунктов 1 и 2, так как по условию α = β. ■

2. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.

Условие. α = β.

Заключение. α + δ = 180° и β + γ = 180°.

Доказательство.

β + δ = 180°, так как β и δ – смежные углы.
α + δ = 180°. Это вытекает из пункта 1, так как по условию α = β.

Таким же способом можно убедиться, что β + γ = 180°. ■

Для теоремы 2 справедлива также и обратная ей теорема.

3. Если сумма внутренних односторонних углов одной пары равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы каждой пары равны.

Условие. α + δ = 180°.

Заключение. α = γ и β = δ.

Доказательство. Обоснуй самостоятельно каждый шаг доказательства.

α = 180° – δ, так как ...
γ = 180° – δ, так как ...
α = γ, так как ... ■

Обоснуй самостоятельно, что β = δ.

Если в формулировке теоремы поменять местами условие и заключение, при условии, что исходная теорема и полученное утверждение являются истинными, то их можно объединить в одну теорему, пользуясь выражением «тогда и только тогда, когда». Так теоремы 2 и 3 можно объединить в одну теорему.

Условие начинается словом если, а заключение – словом то.

4. Внутренние накрест лежащие углы каждой пары равны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.

More like this