Признаки параллельности прямых

Вопрос о параллельности двух прямых, лежащих на одной плоскости, решается без труда, если знать, как связана параллельность прямых с парами углов, изученных в предыдущем параграфе. Эти связи описываются следующими теоремами.

1. Если при пересечении двух прямых s и t третьей прямой u образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые s и t параллельны.

Условие. Прямые s и t, α = β (cм. рисунок).

Заключение. s || t.

Доказательство (от противного). Предположим, что прямые s и t не параллельны. Тогда эти прямые должны пересекаться в некоторой точке, например, в точке C, расположенной правее секущей u (рисунок А).

Повернем мысленно этот рисунок на 180° вокруг точки O – середины отрезка AB. Тогда точка A переместится на место точки B, а точка B – на место точки A. Так как α = β, то прямая s займет положение прямой t, а t – положение s (рисунок Б). Отсюда следует, что прямые s и t должны иметь еще одну точку пересечения C₁, расположенную левее секущей (так как в противном случае прямые не смогли бы поменяться местами). Таким образом, у двух различных прямых s и t две общие точки C и C₁, что невозможно. Следовательно, s || t. ■

Для данной теоремы справедлива также и обратная теорема.

2. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Попробуй доказать эту теорему самостоятельно, пользуясь свойством углов с соответственно параллельными сторонами.

Сформулируем теперь признак параллельности прямых по внутренним накрест лежащим углам, объединив две предыдущие теоремы.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда при пересечении их третьей прямой образуются равные внутренние накрест лежащие углы.

Из теоремы 4 (§ 4.1) и только что полученного признака можно вывести признак параллельности прямых по внутренним односторонним углам.

3. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда при пересечении их третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Попробуй доказать самостоятельно и эту теорему.

Покажем применение изученных признаков на примере доказательства следующей теоремы.

4. Четырехугольник, две противоположные стороны которого равны и параллельны, является параллелограммом.

Условие. Четырехугольник ABCD, AB = DC и AB || DC.

Заключение. Четырехугольник ABCD – параллелограмм.

Доказательство. Требуется доказать, что данный четырехугольник удовлетворяет определению параллелограмма: его противолежащие стороны параллельны. Из условия вытекает, что нужно доказать только, что AD || BC.

Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например, AC.
α = β, как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и DC секущей AC (теорема 2).
∆ACB = ∆CAD (признак СУС).
𝛿 = γ (как соответственные углы равных треугольников).
AD || BC, так как при пересечении прямых AD и BC прямой AC образуются равные внутренние накрест лежащие углы δ и γ (теорема 1). ■

Параллелограммом называется четырехугольник с параллельными сторонами.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Упражнения A

Проверь, запомнил ли ты содержание теоремы.

529. Программа GeoGebra

Проиллюстрируй справедливость теоремы 2 с помощью программы GeoGebra.

«Прямая по двум точкам»

Начерти прямую AB. Выбери инструмент «Прямая по двум точкам» и щелкни мышью на две произвольные точки на полотне графического изображения.

«Точка»

„Перпендикулярная прямая“

"Параллельная прямая"

Проведи через точку С прямую, параллельную прямой АВ. Выбери инструмент «Точка» и щелкни мышью в произвольную точку вне АВ. После этого выбери кнопку и из подменю снизу инструмент «Параллельная прямая», после чего щелкни мышью на прямую AB и затем в точку C.

«Прямая по двум точкам»

Теперь пересеки полученные прямые третьей прямой DE. Выбери инструмент «Прямая по двум точкам» и щелкни на обеих параллельных прямых в какую-нибудь точку.

«Угол»

Для измерения внутренних накрест лежащих углов выбери инструмент «Угол» и щелкни мышью в определенном порядке на точки на сторонах угла и затем в вершину угла. Величину угла BDE получишь, если щелкнешь мышью в таком порядке: E, D и B.

Отмечая угол, нужно последовательно брать точки в направлении против движения часовой стрелки, которое в математике считается положительным направлением.

Проверь также, что выполнено свойство внутренних односторонних углов (теорема 3).

Ответ: остальные углы есть °, °, °, °, °, °, °.

Ответ: остальные углы есть°, °, °, °, °, °, °.

Ответ: остальные углы есть °, °, °, °, °, °, °.

Ответ: остальные углы четырехугольника равны ° и °.

Ответ: в этот момент первый корабль виден со второго в направлении на .

Ответ: в этот момент первый самолет виден со второго самолета в направлении, которое расположено на 35° от направления на в сторону .

Площадь треугольника	15 см²	0,4 м²	46 дм²
Площадь параллелограмма	см²	м²	дм²

Ответ: площадь этого треугольника дм².

Смежные стороны	4 см и 9 см	0,7 дм и 0,4 дм	1,2 м и 5,6 м
Периметр параллелограмма	см	дм	м

Ответ: сторона такого квадрата равна см.

Ответ: стороны параллелограмма равны см и см.

Один из углов	Остальные углы
30°	°, °, °
65°	°, °, °
101°	°, °, °
115°	°, °, °
42°	°, °, °

Сумма двух углов	Углы параллелограмма
80°	°, °, °, °
120°	°, °, °, °
90°	°, °, °, °
160°	°, °, °, °
200°	°, °, °, °

Сумма трех углов	Углы параллелограмма
210°	°, °, °, °
280°	°, °, °, °
225°	°, °, °, °
336°	°, °, °, °
190°	°, °, °, °

Разность двух углов	Углы параллелограмма
20°	°, °, °, °
50°	°, °, °, °
116°	°, °, °, °
48°	°, °, °, °
29°	°, °, °, °