Сумма внутренних углов треугольника

Из изученного в предыдущих классах ты уже знаешь, что сумма углов треугольника равна 180°. К такому выводу мы пришли, измеряя углы различных треугольников и находя их суммы, т. е. на основе эксперимента. Теперь у тебя прибавилось уже столько новых знаний, что мы можем доказать это свойство треугольника.

Но сначала введем одно новое понятие: угол, смежный с углом треугольника, называется внешним углом треугольника. Например, на рисунке A углом, смежным с углом β, является угол 1, который и будет одним из внешних углов треугольника ABC.

Рисунок А

Чтобы избежать путаницы, углы α, β и γ треугольника называют внутренними углами треугольника. Каждый треугольник имеет всего шесть внешних углов, которые попарно равны как вертикальные углы (рисунок Б):

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6.

Рисунок Б

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Условие. Дан треугольник ABC.

Заключение. α + β + γ = 180°.

Доказательство. Проведем через одну из вершин треугольника, например, через вершину B, прямую t, параллельную противолежащей этой вершине стороне AC, т. е. t || AC. Два образовавшихся новых угла обозначим α’ и γ’. Теперь можно сделать ряд последовательных заключений.

α = α', так как эти углы – внутренние накрест лежащие, образованные при пересечении параллельных прямых AC и t прямой AB.
γ = γ', так как они – внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AC и t прямой BC.
α' + β + γ' = 180°, так как эти углы вместе составляют развернутый угол.
α + β + γ = 180° – следует из пунктов 1, 2 и 3. ■

Дополним еще рисунок А, продолжив сторону AB треугольника за точку B (рисунок Б). Получим внешний угол CBD треугольника. Докажи самостоятельно, что ∠CBD = α + γ.

Тем самым ты докажешь теорему:

внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Упражнения A

Данные углы	Третий угол	Этот треугольник
50° и 80°	°	и
100° и 45°	°	и
37° и 81°	°	и
36° и 54°	°	и
60° и 60°	°	и
25° и 52°	°	и

Ответ: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна °.

Данный острый угол	Другой острый угол
17°	°
36°	°
82°	°
45°	°
11°	°

меньше 60°;
больше 60°?

Угол при вершине	100°	84°	36°	24°	126°
Угол при основании	°	°	°	°	°

Угол при основании	35°	42°	57°	72°	88°
Угол при вершине	°	°	°	°	°

Угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне	Угол при основании	Угол при вершине
30°	°	°
50°	°	°
24°	°	°
72°	°	°
13°	°	°

Угол между боковой стороной и высотой, проведенной к другой боковой стороне	Угол при вершине	Угол при основании
20°	°	°
16°	°	°
60°	°	°
36°	°	°
58°	°	°

Угол между боковой стороной и высотой, проведенной к другой боковой стороне	Угол при вершине	Угол при основании
10°	°	°
22°	°	°
60°	°	°
74°	°	°
38°	°	°