Pöörd­funktsiooni tuletis

Tuletame meelde, kuidas leitakse antud funktsiooni pöörd­funktsiooni. Pöörd­funktsiooni saamiseks, näiteks funktsiooni y=\frac{2}{x+1} korral, tuleb avaldada muutuja x muutuja y kaudu ning lugeda muutuja y argumendiks ja muutuja x funktsiooniks (lõpuks on ots­tarbekas viimased tähistused ümber muuta):

y=\frac{2}{x+1} ⇒ x+1=\frac{2}{y} ⇒ x=\frac{2}{y}-1 ehk y=\frac{2}{x}-1.

Funktsioon x=\frac{2}{y}-1 ehk y=\frac{2}{x}-1 on funktsiooni y=\frac{2}{x+1} pöörd­funktsioon (ja ka vastu­pidi).

Olgu funktsioonil y=f\left(x\right) pöörd­funktsioon x=f^{-1}\left(y\right), kus y on argument ja x funktsioon. Eeldame see­juures, et funktsioon y=f\left(x\right) on diferentseeruv ja seega ka pidev. Siis on ka pöörd­funktsioon x=f^{-1}\left(y\right) pidev, sest tema graafik on sümmeetriline sirge y = x suhtes pideva funktsiooni graafikuga, mis on pidev joon. Seega, vastavalt tuletise definitsioonile on pöörd­funktsiooni x=f^{-1}\left(y\right) tuletis

\left[f^{-1}\left(y\right)\right]^' = $$ \underset{\text{Δ}y\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}y}$$ = $$ \underset{\text{Δ}y\to 0}{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}}}$$ = $$ \frac{1}{\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}}}$$ = \frac{1}{f'\left(x\right)}.

Niisiis,