Показательные уравнения

Курс "Функции"

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное только в показателе степени.

Пример 1.

Показательными являются, например, уравнения:

0,4^{x+7}=2^6\cdot5^{-6};

2^{2x}-5\cdot2^x+6=0;

2\cdot0,6^x=3^x\cdot5^{-x}+0,6.

Уравнение 7\cdot3^{2x}+4x=8 не является показательным.

Общего метода для решения показательных уравнений не существует. При их решении пользуются многими специальными приемами, выбор которых диктуется видом уравнения. В некоторых случаях пользуются тем, что степени с равными основаниями равны в том и только в том случае, когда равны их показатели, т. е. при a ≠ 1 равенство a^{x_1}=a^{x_2} равносильно тому, что x1 = x2. Таким способом мы уже решили уравнения задания 274.

Пример 2.

Решим уравнения 1) 8^{x+1}=16^{-3} и 2) 5^{2x^2-3x-2}=1.

  1. 8^{x+1}=16^{-3} ⇒ \left(2^3\right)^{x+1}=\left(2^4\right)^{-3} ⇒ 2^{3x+3}=2^{-12} ⇒ 3x+3=-12 ⇒ x=-5.
  2. Так как 1 = 50, то 5^{2x^2-3x-2}=5^0, откуда 2x^2-3x-2=0. Следовательно, x1 = –0,5 и x2 = 2.

Иногда показательное уравнение обращается в линейное, квадратное и т. п. уравнение относительно выражения af(x). В этом случае уравнение сначала решают относительно нового неизвестного af(x), после чего данное уравнение сводится к одному или нескольким уравнениям вида af(x) = b.

Пример 3.

Решим уравнения 1) 32x–1 – 3x–1 – 2 = 0 и 2) 58x+9 – 54x+6 = 0.

  1. Преобразуем уравнение: 3^{2x-1}-3^{x-1}-2=0 ⇒ 3^{2x}\cdot3^{-1}-3^x\cdot3^{-1}-2=0 ⇒ 3^{2x}-3^x-6=0 ⇒ \left(3^x\right)^2-\left(3^x\right)-6=0.
    Последнее уравнение является квадратным уравнением относительно 3^x.
    ​Поэтому 3^x=0,5\pm\sqrt{0,25+6} = 0,5\pm2,5, или 3^x=3 и 3^x=-2.
    ​Уравнение 3^x=3, не имеет решений, так как показательная функция принимает только положительные значения. Значит, единственный корень уравнения получается из равенства 3x = 3, а именно, x = 1.
    ​Ответ: x = 1.
  2. Уравнение 58x+9 – 54x+6 = 0 можно решить аналогично предыдущему уравнению или по образцу примера 2, но мы рассмотрим другой способ. Запишем уравнение в виде 54x+6 · 54x+3 – 54x+6 = 0. Вынесем за скобки в левой части уравнения множитель 54x + 6 и запишем 54x+6 ⋅ (54x+3 – 1) = 0. 

Поскольку 54x+6 ≠ 0 при всех значениях х, то уравнение равносильно уравнению 54x+3 – 1 = 0, или 54x+3 = 1. Так как 1 = 50, то получим 4x + 3 = 0, или x = –0,75, что и будет решением исходного уравнения.

Ответ: x = –0,75.

More like this
More options

Упражнения

5^{2x}=625
x = 

4^x=64
x = 

0,1^{10-x}=10^{3x-4}
x = 

\left(\frac{1}{25}\right)^{x-1}=5
x = 

\left(\frac{1}{3}\right)^{4-x}=3^x
x = 

\sqrt{e^x}=e^{-0,8}
x = 

e^{0,3x}=e^{-3,6}
x = 

4^{\sqrt{2x}}=0,25
x = 

8^{2x}=1
x = 

3^{x-2}=3^{-2}
x = 

3^{x+1}=\sqrt{9^{x+1}}
x = 

0,9^{x^2-4}=1
x =  или x = 

2^{2-x}=3^{2-x}
x = 

3^{4-x}=5^{x-4}
x = 

\sqrt[4]{2^{x+1}}=\sqrt[3]{2^{x-2}}
x = 

2^{2x}-8\cdot2^x+16=0
x = 

3^{2x}-10\cdot3^x+9=0
x =  или x = 

5^{2x}+5^x-20=0
x = 

4\cdot4^{2x}-9\cdot4^x+2=0
x =  или x = 

4^x-10\cdot2^x+24=0
x =  или x = 

2^{2x}-3\cdot2^{x+1}+8=0
x =  или x = 

3^{x+1}+3^x=108
x = 

7^{2x}+2\cdot7^x=-4
x = 

5^x+3\cdot5^{x-2}=140
x = 

4^{2x+1}-4^{x+2}=0
x = 

9^x-3^x=2
x = 

2^x-2^{x-2}-3=0
x = 

2^{3^x}=512
x = 

3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=13
x = 

e^{4x}=e^{8-6x}
x = 

\sqrt{3^x}\cdot\sqrt{5^x}=225
x = 

125\cdot2^x=8\cdot5^x
x = 

10^x\left(101-10^x\right)=100
x =  или x = 

More like this
More options