Enese­kontrolliks

Ülesanne 633. Tehted vektoritega ja vektorite­vaheline nurk

Ühik­vektorid \vec{a}, \vec{b} ja \vec{c} moodustavad paari­kaupa nurgad 30°.

Arvutage

  1. \left|2\vec{a}+\vec{b}\right| ja \left|\vec{c}-2\vec{b}\right|
    Vastus. \left|2\vec{a}+\vec{b}\right| = ; \left|\vec{c}-2\vec{b}\right| = 
  2. vektorite 2\vec{a}+\vec{b} ja \vec{c}-2\vec{b} vaheline nurk.
    Vastus. Nende vektorite vaheline nurk on .
Ülesanne 634. Tehted vektoritega ja vektorite rist­seis

Määrake arvud r ja s selliselt, et vektor \vec{a}-r\vec{b}-s\vec{c} oleks risti vektoritega \vec{b} ja \vec{c}, kui \vec{a}=\left(1;\ 3;\ 4\right), \vec{b}=\left(1;\ 1;\ 0\right) ja \vec{c}=\left(0;\ 1;\ 1\right).

Vastus. r = ; s = 

Ülesanne 635. Tehted vektoritega ja vektori pikkus

On antud vektorid \vec{a}=\left(5;\ -2;\ 3\right) ja \vec{b}=\left(3;\ -1;\ 0\right). Arvutage vektori \vec{v}=2\left(\vec{a}-3\vec{b}\right) koordinaadid ja pikkus.

Vastus. \vec{v} = ; \left|\vec{v}\right| = 

Ülesanne 636. Rööp­külik

Vektorid \overrightarrow{AB}=\left(2;\ 4;\ -2\right) ja \overrightarrow{BC}=\left(4;\ 0;\ -8\right) määravad rööp­küliku. Arvutage selle rööp­küliku

  1. ümber­mõõt.
    Vastus. P = 
  2. diagonaalid.
    Vastus. d1 = ; d2 = 
  3. sise­nurgad.
    Vastus. ∠A = ; ∠B = 
  4. pindala.
    Vastus. S = 
Ülesanne 637. Punktid
  1. kolm­nurga tippudeks?
  2. tasa­pinnalise neli­nurga tippudeks?
Ülesanne 638. Sirge ja tasandi vastastikune asend
  1. Koostage sirge PQ võrrandid. Leidke selle sirge ja koordinaat­tasandite vahelised nurgad ning vastavate lõike­punktide koordinaadid.
    Vastus. Sirge PQ kanoonilised võrrandid on . Selle sirge ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on  ning yz-tasandi vaheline nurk on . Sirge lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga  ja yz-tasandiga .
  2. Olgu sirgega PQ ristuv ja punkti P läbiv tasand α. Leidke tasandi α ja koordinaat­telgede lõike­punktid. Arvutage nurgad tasandi α ja koordinaat­tasandite vahel. Skitseerige tasand α ruumilises koordinaat­teljestikus.
    Vastus. Tasandi α ja x-telje lõike­punkt on , y-telje lõike­punkt on  ning z-telje lõike­punkt on . Tasandi α ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on  ning yz-tasandi vaheline nurk on .
Ülesanne 639. Sirgete vastastikused asendid

On antud sirged

s:\ \frac{x-3}{-2}=\frac{y-8}{3}=\frac{z-2}{1}
ja
t:x=12+6ty=3-2tz=-3t.

  1. Määrake sirgete s ja t vastastikune asend ja leidke nende sirgete vaheline nurk.
    Vastus. Need sirged on . Sirgete vaheline nurk on .
  2. Leidke antud sirgete ja koordinaat­tasandite lõike­punktid. Skitseerige need sirged ruumilises koordinaat­teljestikus.
    Vastus. Sirge s lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga  ja yz-tasandiga . Sirge t lõike­punkt xy-tasandiga on , xz-tasandiga  ja yz-tasandiga .
Ülesanne 640. Sirgete vastastikused asendid

On antud sirged

s:x=2+2ty=-8+tz=0 ja t:\ \frac{x}{0}=\frac{y+4}{-1}=\frac{z+5}{1}.

Määrake nende sirgete vastastikune asend. Sirgete lõikumise korral leidke lõike­punkti koordinaadid ja nende sirgetega määratud tasandi võrrand.

Vastus. Need on . Nende lõike­punkti koordinaadid on  ja nende sirgetega määratud tasandi võrrand on .

Ülesanne 641. Maja katus
Joon. 2.71
  1. Leidke tasandite P ja Q võrrandid. Kui suure (katusest üles­poole jääva) kahe­tahulise nurga moodustavad need tasandid?
    Vastus. Tasandi P võrrand on  ja tasandi Q võrrand on . Need tasandid moodustavad kahe­tahulise nurga suurusega .
  2. Kui pikk on selle maja veerenn AB? Millise nurga moodustab see renn maa­pinnaga?
    Vastus. Veerenni AB pikkus on  m ja see renn moodustab maa­pinnaga nurga .
  3. Antenni CD tipp on D(8; 14; 16). Leidke antenni kinnitus­koha C koordinaadid. Kas antenni tipp on nähtav punktist E(41; –7; 1)?
    Vastus. Antenni kinnitus­koha C koordinaadid on . Punktist E  antenni tipp nähtav.
  4. Vektori \vec{v}=\left(8;\ -5;\ -6\right) sihis langevatest päikese­kiirtest tekib maja katusele antenni vari. Leidke
    1. selle varju ja veerenni AB lõike­punkti koordinaadid.
      Vastus. Need koordinaadid on .
    2. antenni tipu D varju koordinaadid maja katusel.
      Vastus. Need koordinaadid on .
More like this
More options