Võrranditega antud tasandite vaheline nurk

Joon. 2.69

Võrranditega määratud kahe tasandi vahelise nurga arvutamisel kasutame tasandite normaal­vektoreid. Olgu tasandite φ ja γ normaal­vektorid vastavalt \vec{n} ja \vec{m} (joon. 2.69). Et sirged s ja t joonisel 2.69 on risti tasandite φ ja γ lõike­sirgega, siis vastavalt kahe tasandi vahelise nurga definitsioonile on nende tasandite vaheliseks nurgaks nurk α. Samalt jooniselt selgub, et vaadeldavate tasandite normaal­vektorite paiknemiseks on kaks põhi­mõtteliselt erinevat võimalust (\vec{n},\ \vec{m} ja \vec{n}',\ \vec{m}).

  1. Kui normaal­vektorite vaheline nurk β on terav­nurk, siis tasandite­vaheline nurk α on võrdne normaal­vektorite vahelise nurgaga, s.t α = β (ristuvate haaradega nurgad);
  1. Kui normaal­vektorite vaheline nurk β' on nüri­nurk, siis tasandite­vaheline nurk α = 180° – β'.

Näide.

Leiame tasandite x – 2y – 3z = 1 ja x + 3y + 2z = 2 vahelise nurga.

Et \vec{n}=(1;\ -2;\ -3) ja \vec{m}=(1;\ 3;\ 2), siis

\cos\mathrm{\beta} = \frac{1\cdot1+\left(-2\right)\cdot3+\left(-3\right)\cdot2}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^2}\sqrt{1^2+3^2+2^2}} = \frac{-11}{14} ≈ -0,7857,

millest β ≈ 141,79°. Kuna normaal­vektorite vaheline nurk osutus nüri­nurgaks, siis tasandite­vaheline nurk

α = 180° – β ≈ 180° – 141,79° = 38,21°.

Vastus. Tasandite­vaheline nurk α ≈ 38,21°.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 629. Tasandite­vaheline nurk

2x – y – z + 1 = 0 ja –x + y – 2z + 5 = 0

Vastus. Tasandite­vaheline nurk on .

x + 3y + 2z – 1 = 0 ja 2x – y + 3z + 3 = 0

Vastus. Tasandite­vaheline nurk on .

–3x + 5y + 2z = 0 ja x + 5y – 2z – 3 = 0

Vastus. Tasandite­vaheline nurk on .

5x – 3y + 3z + 1 = 0 ja 3x – z + 2 = 0

Vastus. Tasandite­vaheline nurk on .

Ülesanne 630. Tasandite­vaheline nurk

α on määratud punktidega A(2; –1; 3), B(–1; 0; 2) ja C(0; –2; 1) ning β sirgega \frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-3}{-2} ja punktiga D(0; 0; 3).

Vastus. Nende tasandite vaheline nurk on .

α on määratud sirgetega \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{0}=\frac{z+1}{2} ja \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1} ning β sirgega \frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+5}{6} ja \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{3}.

Vastus. 

α on määratud rihi­vektoritega \vec{u}=\left(3;\ -1;\ 2\right) ja \vec{v}=\left(1;\ 0;\ -2\right) ning punktiga A(3; 0; –1), aga β normaal­vektoriga \vec{n}=\left(2;\ -5;\ 1\right) ja punktiga B(2; –5; 0).

Vastus. Nende tasandite vaheline nurk on .

Ülesanne 631. Tasandi ja koordinaat­tasandite vahelised nurgad
  1. Leidke tasandi φ ja koordinaat­tasandite vahelised nurgad α, β ja γ.
    1. \mathrm{\varphi}:\ 2x-y+5z=1
      Vastus. Antud tasandi ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on ja yz-tasandi vaheline nurk on .
    2. \mathrm{\varphi}:\ 4x+3y+2z=5
      Vastus. Antud tasandi ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on  ja yz-tasandi vaheline nurk on .
    3. \mathrm{\varphi}:\ 7x+z=0
      Vastus. Antud tasandi ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on  ja yz-tasandi vaheline nurk on .
    4. \mathrm{\varphi}:\ 2x+5y=7
      Vastus. Antud tasandi ja xy-tasandi vaheline nurk on , xz-tasandi vaheline nurk on  ja yz-tasandi vaheline nurk on .
  2. Arvutage punktis 1 iga ülesande korral leitud nurkade koosinuste ruutude summa. Mis selgub?
  3. Tõestage püstitatud hüpotees.
Ülesanne 632. Tasandite­vaheline nurk
Joon. 2.70

Leidke nurk

  1. kahe ühise servaga tahu vahel.
    Vastus. See nurk on .
  2. kahe sellise tahu vahel, millel on vaid üks ühine punkt.
    Vastus. See nurk on .
Seotud sisu
Muud tegevused