Püramiidi pindala ja ruumala

Näide.

Kolm­nurkse püramiidi OABC servadel OA ja OB asetsevad vastavalt punktid K ja L, mis jaotavad need servad tipust O alates suhtes 1 : 2 ja 2 : 1. Püramiidi lõigatakse punkte C, K ja L läbiva tasandiga. Millises suhtes jaotab lõike­tasand CKL püramiidi ruumala?

Kujutame kõige­pealt püramiidi lõiget tasandiga CKL joonisel 3.22a.

Joon. 3.22

Näeme, et lõike­tasand jaotab püramiidi kaheks osaks: kolm­nurkseks püramiidiks COKL ja neli­nurkseks püramiidiks CKABL. Nendel püramiididel on ühine tipp C. Pöörame esi­algse püramiidi sellisesse asendisse, et püramiidi põhjaks oleks kolm­nurk ABO (joon. 3.22b). Näeme, et nii esi­algse püramiidi kui ka mõlema tekkinud püramiidi kõrgused on võrdsed. Seega sõltub püramiidide COKL ja CKABL ruumalade suhe ainult põhjade pindaladest.

Teame, et OK=\frac{1}{3}OA ja OL=\frac{2}{3}OB. Nende seoste abil on kõige lihtsam leida kolm­nurkade OAB ja OKL pindalade suhet ja arvutada, kui suure osa moodustab püramiidi COKL ruumala esi­algse püramiidi ruumalast. Tähistame ∠AOB = α, siis S_{OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\mathrm{\alpha} ja S_{OKL}=\frac{1}{2}OK\cdot OL\cdot\sin\mathrm{\alpha}. Seega

\frac{V_{COKL}}{V_{COAB}} = \frac{S_{OKL}}{S_{OAB}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}OA\cdot\frac{2}{3}OB\cdot\sin\mathrm{\alpha}}{\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\mathrm{\alpha}} = \frac{2}{9}.

Järelikult moodustab püramiidi COKL ruumala \frac{2}{9} ja püramiidi CKABL ruumala 1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9} osa esi­algse püramiidi ruumalast ning lõike­tasand jaotab püramiidi OABC osadeks, mille ruumalade suhe on 2 : 7.

Vastus. Lõike­tasand jaotab püramiidi ruumala suhtes 2 : 7.